Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75000 / 56690
↖ ↑ ↗
← N 23.599228°
E 25.993652°		 ← 279.82 m → N 23.599228°
E 25.996399°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
N 23.596711°
E 25.993652°		 ← 279.83 m →
78 317 m²		 N 23.596711°
E 25.996399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572208404541016 y=0.432514190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572208404541016 × 217)
    floor (0.572208404541016 × 131072)
    floor (75000.5)     		tx = 75000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432514190673828 × 217)
    floor (0.432514190673828 × 131072)
    floor (56690.5)     		ty = 56690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75000 / 56690 ti = "17/75000/56690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75000/56690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75000 ÷ 217
    75000 ÷ 131072     		x = 0.57220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56690 ÷ 217
    56690 ÷ 131072     		y = 0.432510375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    0.1444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45367482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432510375976562 × 2 - 1) × π
    0.134979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.424049814039017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45367482} λ = 0.45367482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424049814039017))-π/2
    2×atan(1.52813771459984)-π/2
    2×0.991340279755379-π/2
    1.98268055951076-1.57079632675     		φ = 0.41188423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45367482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41188423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.599228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75000 KachelY 56690 0.45367482 0.41188423 25.993652 23.599228
    Oben rechts KachelX + 1 75001 KachelY 56690 0.45372275 0.41188423 25.996399 23.599228
    Unten links KachelX 75000 KachelY + 1 56691 0.45367482 0.41184030 25.993652 23.596711
    Unten rechts KachelX + 1 75001 KachelY + 1 56691 0.45372275 0.41184030 25.996399 23.596711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41188423-0.41184030) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41188423-0.41184030) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45367482-0.45372275) × cos(0.41188423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916368123570008 × 6371000     		do = 279.8240304408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45367482-0.45372275) × cos(0.41184030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.916385709476392 × 6371000     		du = 279.829400508872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41188423)-sin(0.41184030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916368123570008-0.916385709476392)×R²
    abs(0.45372275-0.45367482)×1.75859063832329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75859063832329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75859063832329e-05×40589641000000     		ar = 78317.3498811045m²