Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7500 / 5396
↖ ↑ ↗
← N 76.132429°
W 97.602539°		 ← 292.79 m → N 76.132429°
W 97.591553°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
N 76.129796°
W 97.602539°		 ← 292.84 m →
85 739 m²		 N 76.129796°
W 97.591553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228897094726562 y=0.164688110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228897094726562 × 215)
    floor (0.228897094726562 × 32768)
    floor (7500.5)     		tx = 7500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164688110351562 × 215)
    floor (0.164688110351562 × 32768)
    floor (5396.5)     		ty = 5396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7500 / 5396 ti = "15/7500/5396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7500/5396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7500 ÷ 215
    7500 ÷ 32768     		x = 0.2288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5396 ÷ 215
    5396 ÷ 32768     		y = 0.1646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    0.670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10692261210071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70348566} λ = -1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10692261210071))-π/2
    2×atan(8.22289726340035)-π/2
    2×1.4497789457318-π/2
    2.89955789146361-1.57079632675     		φ = 1.32876156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32876156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.132429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7500 KachelY 5396 -1.70348566 1.32876156 -97.602539 76.132429
    Oben rechts KachelX + 1 7501 KachelY 5396 -1.70329392 1.32876156 -97.591553 76.132429
    Unten links KachelX 7500 KachelY + 1 5397 -1.70348566 1.32871560 -97.602539 76.129796
    Unten rechts KachelX + 1 7501 KachelY + 1 5397 -1.70329392 1.32871560 -97.591553 76.129796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32876156-1.32871560) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32876156-1.32871560) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70348566--1.70329392) × cos(1.32876156) × R
    0.000191739999999996 × 0.239678579244088 × 6371000     		do = 292.785489866523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70348566--1.70329392) × cos(1.32871560) × R
    0.000191739999999996 × 0.23972319936241 × 6371000     		du = 292.839996711657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32876156)-sin(1.32871560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239678579244088-0.23972319936241)×R²
    abs(-1.70329392--1.70348566)×4.46201183220696e-05×R²
    0.000191739999999996×4.46201183220696e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.46201183220696e-05×40589641000000     		ar = 85738.8390401075m²