Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7500 / 5201
↖ ↑ ↗
← N 54.762671°
W 15.205078°		 ← 1 409.69 m → N 54.762671°
W 15.183105°		 →
↑
1 409.90 m
↓
↑
1 409.90 m
↓
N 54.749991°
W 15.205078°		 ← 1 410.13 m →
1 987 830 m²		 N 54.749991°
W 15.183105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457794189453125 y=0.317474365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457794189453125 × 214)
    floor (0.457794189453125 × 16384)
    floor (7500.5)     		tx = 7500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317474365234375 × 214)
    floor (0.317474365234375 × 16384)
    floor (5201.5)     		ty = 5201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7500 / 5201 ti = "14/7500/5201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7500/5201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7500 ÷ 214
    7500 ÷ 16384     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5201 ÷ 214
    5201 ÷ 16384     		y = 0.31744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31744384765625 × 2 - 1) × π
    0.3651123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1470341341087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1470341341087))-π/2
    2×atan(3.14884000964036)-π/2
    2×1.26329261622244-π/2
    2.52658523244487-1.57079632675     		φ = 0.95578891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95578891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.762671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7500 KachelY 5201 -0.26537868 0.95578891 -15.205078 54.762671
    Oben rechts KachelX + 1 7501 KachelY 5201 -0.26499518 0.95578891 -15.183105 54.762671
    Unten links KachelX 7500 KachelY + 1 5202 -0.26537868 0.95556761 -15.205078 54.749991
    Unten rechts KachelX + 1 7501 KachelY + 1 5202 -0.26499518 0.95556761 -15.183105 54.749991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95578891-0.95556761) × R
    0.00022129999999998 × 6371000     		dl = 1409.90229999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95578891-0.95556761) × R
    0.00022129999999998 × 6371000     		dr = 1409.90229999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26499518) × cos(0.95578891) × R
    0.000383499999999981 × 0.576964580110661 × 6371000     		do = 1409.68515384583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26499518) × cos(0.95556761) × R
    0.000383499999999981 × 0.577145316997954 × 6371000     		du = 1410.12674439672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95578891)-sin(0.95556761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576964580110661-0.577145316997954)×R²
    abs(-0.26499518--0.26537868)×0.000180736887293365×R²
    0.000383499999999981×0.000180736887293365×6371000²
    0.000383499999999981×0.000180736887293365×40589641000000     		ar = 1987829.64856156m²