Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7500 / 3844
↖ ↑ ↗
← N 68.624543°
W 15.205078°		 ← 890.52 m → N 68.624543°
W 15.183105°		 →
↑
890.67 m
↓
↑
890.67 m
↓
N 68.616533°
W 15.205078°		 ← 890.84 m →
793 298 m²		 N 68.616533°
W 15.183105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457794189453125 y=0.234649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457794189453125 × 214)
    floor (0.457794189453125 × 16384)
    floor (7500.5)     		tx = 7500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234649658203125 × 214)
    floor (0.234649658203125 × 16384)
    floor (3844.5)     		ty = 3844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7500 / 3844 ti = "14/7500/3844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7500/3844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7500 ÷ 214
    7500 ÷ 16384     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3844 ÷ 214
    3844 ÷ 16384     		y = 0.234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234619140625 × 2 - 1) × π
    0.53076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66743711638403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66743711638403))-π/2
    2×atan(5.29857076062215)-π/2
    2×1.38426028069164-π/2
    2.76852056138329-1.57079632675     		φ = 1.19772423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19772423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.624543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7500 KachelY 3844 -0.26537868 1.19772423 -15.205078 68.624543
    Oben rechts KachelX + 1 7501 KachelY 3844 -0.26499518 1.19772423 -15.183105 68.624543
    Unten links KachelX 7500 KachelY + 1 3845 -0.26537868 1.19758443 -15.205078 68.616533
    Unten rechts KachelX + 1 7501 KachelY + 1 3845 -0.26499518 1.19758443 -15.183105 68.616533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19772423-1.19758443) × R
    0.000139799999999912 × 6371000     		dl = 890.665799999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19772423-1.19758443) × R
    0.000139799999999912 × 6371000     		dr = 890.665799999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26499518) × cos(1.19772423) × R
    0.000383499999999981 × 0.364477920888042 × 6371000     		do = 890.521067830411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26499518) × cos(1.19758443) × R
    0.000383499999999981 × 0.364608100767754 × 6371000     		du = 890.839133531644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19772423)-sin(1.19758443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364477920888042-0.364608100767754)×R²
    abs(-0.26499518--0.26537868)×0.000130179879711978×R²
    0.000383499999999981×0.000130179879711978×6371000²
    0.000383499999999981×0.000130179879711978×40589641000000     		ar = 793298.305708239m²