Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 75 / 42
↖ ↑ ↗
← N 81.723188°
W127.265625°		 ← 11.255 km → N 81.723188°
W126.562500°		 →
↑
11.324 km
↓
↑
11.324 km
↓
N 81.621352°
W127.265625°		 ← 11.393 km →
128.226 km²		 N 81.621352°
W126.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1474609375 y=0.0830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1474609375 × 29)
    floor (0.1474609375 × 512)
    floor (75.5)     		tx = 75
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830078125 × 29)
    floor (0.0830078125 × 512)
    floor (42.5)     		ty = 42
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 75 / 42 ti = "9/75/42"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/75/42.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75 ÷ 29
    75 ÷ 512     		x = 0.146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42 ÷ 29
    42 ÷ 512     		y = 0.08203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146484375 × 2 - 1) × π
    -0.70703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22120418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08203125 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22120418} λ = -2.22120418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62617510878516))-π/2
    2×atan(13.8208055974377)-π/2
    2×1.49856751297347-π/2
    2.99713502594695-1.57079632675     		φ = 1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22120418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75 KachelY 42 -2.22120418 1.42633870 -127.265625 81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 76 KachelY 42 -2.20893233 1.42633870 -126.562500 81.723188
    Unten links KachelX 75 KachelY + 1 43 -2.22120418 1.42456133 -127.265625 81.621352
    Unten rechts KachelX + 1 76 KachelY + 1 43 -2.20893233 1.42456133 -126.562500 81.621352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42633870-1.42456133) × R
    0.00177737000000011 × 6371000     		dl = 11323.6242700007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42633870-1.42456133) × R
    0.00177737000000011 × 6371000     		dr = 11323.6242700007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22120418--2.20893233) × cos(1.42633870) × R
    0.0122718499999999 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 11255.0282756804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22120418--2.20893233) × cos(1.42456133) × R
    0.0122718499999999 × 0.145714355831018 × 6371000     		du = 11392.5248358605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42633870)-sin(1.42456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.145714355831018)×R²
    abs(-2.20893233--2.22120418)×0.00175862883638989×R²
    0.0122718499999999×0.00175862883638989×6371000²
    0.0122718499999999×0.00175862883638989×40589641000000     		ar = 128226224.791017m²