Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74999 / 55993
↖ ↑ ↗
← N 25.341544°
E 25.990906°		 ← 276.04 m → N 25.341544°
E 25.993652°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 25.339061°
E 25.990906°		 ← 276.04 m →
76 202 m²		 N 25.339061°
E 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572200775146484 y=0.427196502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572200775146484 × 217)
    floor (0.572200775146484 × 131072)
    floor (74999.5)     		tx = 74999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427196502685547 × 217)
    floor (0.427196502685547 × 131072)
    floor (55993.5)     		ty = 55993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74999 / 55993 ti = "17/74999/55993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74999/55993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74999 ÷ 217
    74999 ÷ 131072     		x = 0.572196960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55993 ÷ 217
    55993 ÷ 131072     		y = 0.427192687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572196960449219 × 2 - 1) × π
    0.144393920898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45362688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427192687988281 × 2 - 1) × π
    0.145614624023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.457461833074196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45362688} λ = 0.45362688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457461833074196))-π/2
    2×atan(1.58005843901651)-π/2
    2×1.00654485154905-π/2
    2.01308970309809-1.57079632675     		φ = 0.44229338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45362688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.990906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44229338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.341544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74999 KachelY 55993 0.45362688 0.44229338 25.990906 25.341544
    Oben rechts KachelX + 1 75000 KachelY 55993 0.45367482 0.44229338 25.993652 25.341544
    Unten links KachelX 74999 KachelY + 1 55994 0.45362688 0.44225005 25.990906 25.339061
    Unten rechts KachelX + 1 75000 KachelY + 1 55994 0.45367482 0.44225005 25.993652 25.339061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44229338-0.44225005) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44229338-0.44225005) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45362688-0.45367482) × cos(0.44229338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903772443714685 × 6371000     		do = 276.035367412985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45362688-0.45367482) × cos(0.44225005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903790988681798 × 6371000     		du = 276.041031523289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44229338)-sin(0.44225005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903772443714685-0.903790988681798)×R²
    abs(0.45367482-0.45362688)×1.85449671128435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85449671128435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85449671128435e-05×40589641000000     		ar = 76201.8438625845m²