Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74999 / 55033
↖ ↑ ↗
← N 27.700552°
E 25.990906°		 ← 270.42 m → N 27.700552°
E 25.993652°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
N 27.698120°
E 25.990906°		 ← 270.43 m →
73 136 m²		 N 27.698120°
E 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572200775146484 y=0.419872283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572200775146484 × 217)
    floor (0.572200775146484 × 131072)
    floor (74999.5)     		tx = 74999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419872283935547 × 217)
    floor (0.419872283935547 × 131072)
    floor (55033.5)     		ty = 55033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74999 / 55033 ti = "17/74999/55033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74999/55033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74999 ÷ 217
    74999 ÷ 131072     		x = 0.572196960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55033 ÷ 217
    55033 ÷ 131072     		y = 0.419868469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572196960449219 × 2 - 1) × π
    0.144393920898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45362688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419868469238281 × 2 - 1) × π
    0.160263061523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.50348125670945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45362688} λ = 0.45362688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50348125670945))-π/2
    2×atan(1.65447089483786)-π/2
    2×1.02713108162786-π/2
    2.05426216325572-1.57079632675     		φ = 0.48346584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45362688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.990906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48346584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.700552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74999 KachelY 55033 0.45362688 0.48346584 25.990906 27.700552
    Oben rechts KachelX + 1 75000 KachelY 55033 0.45367482 0.48346584 25.993652 27.700552
    Unten links KachelX 74999 KachelY + 1 55034 0.45362688 0.48342339 25.990906 27.698120
    Unten rechts KachelX + 1 75000 KachelY + 1 55034 0.45367482 0.48342339 25.993652 27.698120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48346584-0.48342339) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dl = 270.44894999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48346584-0.48342339) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dr = 270.44894999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45362688-0.45367482) × cos(0.48346584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885389145938666 × 6371000     		do = 270.420635086108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45362688-0.45367482) × cos(0.48342339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885408878047978 × 6371000     		du = 270.426661780196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48346584)-sin(0.48342339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885389145938666-0.885408878047978)×R²
    abs(0.45367482-0.45362688)×1.97321093111658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97321093111658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97321093111658e-05×40589641000000     		ar = 73135.791784852m²