Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74997 / 55595
↖ ↑ ↗
← N 26.325422°
E 25.985413°		 ← 273.69 m → N 26.325422°
E 25.988159°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.322960°
E 25.985413°		 ← 273.70 m →
74 927 m²		 N 26.322960°
E 25.988159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572185516357422 y=0.424160003662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572185516357422 × 217)
    floor (0.572185516357422 × 131072)
    floor (74997.5)     		tx = 74997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424160003662109 × 217)
    floor (0.424160003662109 × 131072)
    floor (55595.5)     		ty = 55595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74997 / 55595 ti = "17/74997/55595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74997/55595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74997 ÷ 217
    74997 ÷ 131072     		x = 0.572181701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55595 ÷ 217
    55595 ÷ 131072     		y = 0.424156188964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572181701660156 × 2 - 1) × π
    0.144363403320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45353101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424156188964844 × 2 - 1) × π
    0.151687622070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.476540719122978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45353101} λ = 0.45353101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476540719122978))-π/2
    2×atan(1.61049360525488)-π/2
    2×1.01513080846698-π/2
    2.03026161693395-1.57079632675     		φ = 0.45946529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45353101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.985413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45946529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.325422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74997 KachelY 55595 0.45353101 0.45946529 25.985413 26.325422
    Oben rechts KachelX + 1 74998 KachelY 55595 0.45357894 0.45946529 25.988159 26.325422
    Unten links KachelX 74997 KachelY + 1 55596 0.45353101 0.45942232 25.985413 26.322960
    Unten rechts KachelX + 1 74998 KachelY + 1 55596 0.45357894 0.45942232 25.988159 26.322960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45946529-0.45942232) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dl = 273.761870000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45946529-0.45942232) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dr = 273.761870000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45353101-0.45357894) × cos(0.45946529) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896289752909164 × 6371000     		do = 273.692858416391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45353101-0.45357894) × cos(0.45942232) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896308807940984 × 6371000     		du = 273.698677099589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45946529)-sin(0.45942232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896289752909164-0.896308807940984)×R²
    abs(0.45357894-0.45353101)×1.90550318202032e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90550318202032e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90550318202032e-05×40589641000000     		ar = 74927.4652040744m²