Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74996 / 57029
↖ ↑ ↗
← N 22.743256°
E 25.982666°		 ← 281.68 m → N 22.743256°
E 25.985413°		 →
↑
281.66 m
↓
↑
281.66 m
↓
N 22.740723°
E 25.982666°		 ← 281.68 m →
79 339 m²		 N 22.740723°
E 25.985413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572177886962891 y=0.435100555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572177886962891 × 217)
    floor (0.572177886962891 × 131072)
    floor (74996.5)     		tx = 74996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435100555419922 × 217)
    floor (0.435100555419922 × 131072)
    floor (57029.5)     		ty = 57029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74996 / 57029 ti = "17/74996/57029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74996/57029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74996 ÷ 217
    74996 ÷ 131072     		x = 0.572174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57029 ÷ 217
    57029 ÷ 131072     		y = 0.435096740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572174072265625 × 2 - 1) × π
    0.14434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45348307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435096740722656 × 2 - 1) × π
    0.129806518554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.407799205067818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45348307} λ = 0.45348307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407799205067818))-π/2
    2×atan(1.50350523462684)-π/2
    2×0.983870514528243-π/2
    1.96774102905649-1.57079632675     		φ = 0.39694470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45348307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39694470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.743256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74996 KachelY 57029 0.45348307 0.39694470 25.982666 22.743256
    Oben rechts KachelX + 1 74997 KachelY 57029 0.45353101 0.39694470 25.985413 22.743256
    Unten links KachelX 74996 KachelY + 1 57030 0.45348307 0.39690049 25.982666 22.740723
    Unten rechts KachelX + 1 74997 KachelY + 1 57030 0.45353101 0.39690049 25.985413 22.740723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39694470-0.39690049) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dl = 281.66190999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39694470-0.39690049) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dr = 281.66190999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45348307-0.45353101) × cos(0.39694470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.922246483029564 × 6371000     		do = 281.677814541843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45348307-0.45353101) × cos(0.39690049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.922263573820892 × 6371000     		du = 281.683034509432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39694470)-sin(0.39690049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922246483029564-0.922263573820892)×R²
    abs(0.45353101-0.45348307)×1.7090791328167e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.7090791328167e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.7090791328167e-05×40589641000000     		ar = 79338.6463944954m²