Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74995 / 57028
↖ ↑ ↗
← N 22.745789°
E 25.979919°		 ← 281.67 m → N 22.745789°
E 25.982666°		 →
↑
281.66 m
↓
↑
281.66 m
↓
N 22.743256°
E 25.979919°		 ← 281.68 m →
79 337 m²		 N 22.743256°
E 25.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572170257568359 y=0.435092926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572170257568359 × 217)
    floor (0.572170257568359 × 131072)
    floor (74995.5)     		tx = 74995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435092926025391 × 217)
    floor (0.435092926025391 × 131072)
    floor (57028.5)     		ty = 57028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74995 / 57028 ti = "17/74995/57028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74995/57028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74995 ÷ 217
    74995 ÷ 131072     		x = 0.572166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57028 ÷ 217
    57028 ÷ 131072     		y = 0.435089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572166442871094 × 2 - 1) × π
    0.144332885742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45343513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435089111328125 × 2 - 1) × π
    0.12982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.407847141967438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45343513} λ = 0.45343513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407847141967438))-π/2
    2×atan(1.50357730973387)-π/2
    2×0.983892619141928-π/2
    1.96778523828386-1.57079632675     		φ = 0.39698891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45343513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.979919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39698891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.745789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74995 KachelY 57028 0.45343513 0.39698891 25.979919 22.745789
    Oben rechts KachelX + 1 74996 KachelY 57028 0.45348307 0.39698891 25.982666 22.745789
    Unten links KachelX 74995 KachelY + 1 57029 0.45343513 0.39694470 25.979919 22.743256
    Unten rechts KachelX + 1 74996 KachelY + 1 57029 0.45348307 0.39694470 25.982666 22.743256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39698891-0.39694470) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dl = 281.66190999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39698891-0.39694470) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dr = 281.66190999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45343513-0.45348307) × cos(0.39698891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922229390435682 × 6371000     		do = 281.672594023382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45343513-0.45348307) × cos(0.39694470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922246483029564 × 6371000     		du = 281.677814541517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39698891)-sin(0.39694470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922229390435682-0.922246483029564)×R²
    abs(0.45348307-0.45343513)×1.70925938811628e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70925938811628e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70925938811628e-05×40589641000000     		ar = 79337.1760507201m²