Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74995 / 55925
↖ ↑ ↗
← N 25.510221°
E 25.979919°		 ← 275.65 m → N 25.510221°
E 25.982666°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.507742°
E 25.979919°		 ← 275.66 m →
75 972 m²		 N 25.507742°
E 25.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572170257568359 y=0.426677703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572170257568359 × 217)
    floor (0.572170257568359 × 131072)
    floor (74995.5)     		tx = 74995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426677703857422 × 217)
    floor (0.426677703857422 × 131072)
    floor (55925.5)     		ty = 55925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74995 / 55925 ti = "17/74995/55925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74995/55925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74995 ÷ 217
    74995 ÷ 131072     		x = 0.572166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55925 ÷ 217
    55925 ÷ 131072     		y = 0.426673889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572166442871094 × 2 - 1) × π
    0.144332885742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45343513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426673889160156 × 2 - 1) × π
    0.146652221679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.46072154224836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45343513} λ = 0.45343513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46072154224836))-π/2
    2×atan(1.58521737375122)-π/2
    2×1.00801683998913-π/2
    2.01603367997827-1.57079632675     		φ = 0.44523735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45343513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.979919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44523735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.510221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74995 KachelY 55925 0.45343513 0.44523735 25.979919 25.510221
    Oben rechts KachelX + 1 74996 KachelY 55925 0.45348307 0.44523735 25.982666 25.510221
    Unten links KachelX 74995 KachelY + 1 55926 0.45343513 0.44519409 25.979919 25.507742
    Unten rechts KachelX + 1 74996 KachelY + 1 55926 0.45348307 0.44519409 25.982666 25.507742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44523735-0.44519409) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44523735-0.44519409) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45343513-0.45348307) × cos(0.44523735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902508470794906 × 6371000     		do = 275.649317548622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45343513-0.45348307) × cos(0.44519409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902527100825578 × 6371000     		du = 275.655007639526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44523735)-sin(0.44519409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902508470794906-0.902527100825578)×R²
    abs(0.45348307-0.45343513)×1.8630030672373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8630030672373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8630030672373e-05×40589641000000     		ar = 75972.3436922551m²