Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74995 / 55571
↖ ↑ ↗
← N 26.384489°
E 25.979919°		 ← 273.61 m → N 26.384489°
E 25.982666°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.382028°
E 25.979919°		 ← 273.62 m →
74 870 m²		 N 26.382028°
E 25.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572170257568359 y=0.423976898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572170257568359 × 217)
    floor (0.572170257568359 × 131072)
    floor (74995.5)     		tx = 74995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423976898193359 × 217)
    floor (0.423976898193359 × 131072)
    floor (55571.5)     		ty = 55571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74995 / 55571 ti = "17/74995/55571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74995/55571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74995 ÷ 217
    74995 ÷ 131072     		x = 0.572166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55571 ÷ 217
    55571 ÷ 131072     		y = 0.423973083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572166442871094 × 2 - 1) × π
    0.144332885742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45343513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423973083496094 × 2 - 1) × π
    0.152053833007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.47769120471386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45343513} λ = 0.45343513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47769120471386))-π/2
    2×atan(1.61234752118923)-π/2
    2×1.01564626109426-π/2
    2.03129252218852-1.57079632675     		φ = 0.46049620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45343513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.979919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46049620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.384489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74995 KachelY 55571 0.45343513 0.46049620 25.979919 26.384489
    Oben rechts KachelX + 1 74996 KachelY 55571 0.45348307 0.46049620 25.982666 26.384489
    Unten links KachelX 74995 KachelY + 1 55572 0.45343513 0.46045325 25.979919 26.382028
    Unten rechts KachelX + 1 74996 KachelY + 1 55572 0.45348307 0.46045325 25.982666 26.382028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46049620-0.46045325) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46049620-0.46045325) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45343513-0.45348307) × cos(0.46049620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895832100173359 × 6371000     		do = 273.610182111023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45343513-0.45348307) × cos(0.46045325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89585118601241 × 6371000     		du = 273.616011417539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46049620)-sin(0.46045325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895832100173359-0.89585118601241)×R²
    abs(0.45348307-0.45343513)×1.90858390509696e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90858390509696e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90858390509696e-05×40589641000000     		ar = 74869.9692574741m²