Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74994 / 55952
↖ ↑ ↗
← N 25.443274°
E 25.977173°		 ← 275.75 m → N 25.443274°
E 25.979919°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 25.440795°
E 25.977173°		 ← 275.75 m →
76 034 m²		 N 25.440795°
E 25.979919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572162628173828 y=0.426883697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572162628173828 × 217)
    floor (0.572162628173828 × 131072)
    floor (74994.5)     		tx = 74994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426883697509766 × 217)
    floor (0.426883697509766 × 131072)
    floor (55952.5)     		ty = 55952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74994 / 55952 ti = "17/74994/55952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74994/55952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74994 ÷ 217
    74994 ÷ 131072     		x = 0.572158813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55952 ÷ 217
    55952 ÷ 131072     		y = 0.4268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572158813476562 × 2 - 1) × π
    0.144317626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45338720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4268798828125 × 2 - 1) × π
    0.146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.459427245958618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45338720} λ = 0.45338720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459427245958618))-π/2
    2×atan(1.58316695999364)-π/2
    2×1.00743262062843-π/2
    2.01486524125686-1.57079632675     		φ = 0.44406891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45338720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.977173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44406891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.443274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74994 KachelY 55952 0.45338720 0.44406891 25.977173 25.443274
    Oben rechts KachelX + 1 74995 KachelY 55952 0.45343513 0.44406891 25.979919 25.443274
    Unten links KachelX 74994 KachelY + 1 55953 0.45338720 0.44402563 25.977173 25.440795
    Unten rechts KachelX + 1 74995 KachelY + 1 55953 0.45343513 0.44402563 25.979919 25.440795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44406891-0.44402563) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44406891-0.44402563) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45338720-0.45343513) × cos(0.44406891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.903011069116525 × 6371000     		do = 275.745293178061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45338720-0.45343513) × cos(0.44402563) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.903029662106746 × 6371000     		du = 275.750970771299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44406891)-sin(0.44402563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903011069116525-0.903029662106746)×R²
    abs(0.45343513-0.45338720)×1.85929902207782e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85929902207782e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85929902207782e-05×40589641000000     		ar = 76033.9295882883m²