Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74993 / 55573
↖ ↑ ↗
← N 26.379568°
E 25.974426°		 ← 273.62 m → N 26.379568°
E 25.977173°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.377107°
E 25.974426°		 ← 273.63 m →
74 873 m²		 N 26.377107°
E 25.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572154998779297 y=0.423992156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572154998779297 × 217)
    floor (0.572154998779297 × 131072)
    floor (74993.5)     		tx = 74993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423992156982422 × 217)
    floor (0.423992156982422 × 131072)
    floor (55573.5)     		ty = 55573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74993 / 55573 ti = "17/74993/55573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74993/55573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74993 ÷ 217
    74993 ÷ 131072     		x = 0.572151184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55573 ÷ 217
    55573 ÷ 131072     		y = 0.423988342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572151184082031 × 2 - 1) × π
    0.144302368164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45333926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423988342285156 × 2 - 1) × π
    0.152023315429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.477595330914619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45333926} λ = 0.45333926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477595330914619))-π/2
    2×atan(1.61219294671661)-π/2
    2×1.01560331676593-π/2
    2.03120663353185-1.57079632675     		φ = 0.46041031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45333926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.974426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46041031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.379568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74993 KachelY 55573 0.45333926 0.46041031 25.974426 26.379568
    Oben rechts KachelX + 1 74994 KachelY 55573 0.45338720 0.46041031 25.977173 26.379568
    Unten links KachelX 74993 KachelY + 1 55574 0.45333926 0.46036736 25.974426 26.377107
    Unten rechts KachelX + 1 74994 KachelY + 1 55574 0.45338720 0.46036736 25.977173 26.377107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46041031-0.46036736) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46041031-0.46036736) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45333926-0.45338720) × cos(0.46041031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895870265755725 × 6371000     		do = 273.621838862259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45333926-0.45338720) × cos(0.46036736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895889348289967 × 6371000     		du = 273.627667159402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46041031)-sin(0.46036736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895870265755725-0.895889348289967)×R²
    abs(0.45338720-0.45333926)×1.90825342426537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90825342426537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90825342426537e-05×40589641000000     		ar = 74873.1588080406m²