Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74993 / 54611
↖ ↑ ↗
← N 28.721905°
E 25.974426°		 ← 267.85 m → N 28.721905°
E 25.977173°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
N 28.719496°
E 25.974426°		 ← 267.85 m →
71 740 m²		 N 28.719496°
E 25.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572154998779297 y=0.416652679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572154998779297 × 217)
    floor (0.572154998779297 × 131072)
    floor (74993.5)     		tx = 74993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416652679443359 × 217)
    floor (0.416652679443359 × 131072)
    floor (54611.5)     		ty = 54611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74993 / 54611 ti = "17/74993/54611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74993/54611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74993 ÷ 217
    74993 ÷ 131072     		x = 0.572151184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54611 ÷ 217
    54611 ÷ 131072     		y = 0.416648864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572151184082031 × 2 - 1) × π
    0.144302368164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45333926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416648864746094 × 2 - 1) × π
    0.166702270507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.523710628349114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45333926} λ = 0.45333926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523710628349114))-π/2
    2×atan(1.68828062323565)-π/2
    2×1.03604406636006-π/2
    2.07208813272013-1.57079632675     		φ = 0.50129181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45333926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.974426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50129181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.721905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74993 KachelY 54611 0.45333926 0.50129181 25.974426 28.721905
    Oben rechts KachelX + 1 74994 KachelY 54611 0.45338720 0.50129181 25.977173 28.721905
    Unten links KachelX 74993 KachelY + 1 54612 0.45333926 0.50124977 25.974426 28.719496
    Unten rechts KachelX + 1 74994 KachelY + 1 54612 0.45338720 0.50124977 25.977173 28.719496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50129181-0.50124977) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50129181-0.50124977) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45333926-0.45338720) × cos(0.50129181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876962503114627 × 6371000     		do = 267.846921465862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45333926-0.45338720) × cos(0.50124977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876982705031963 × 6371000     		du = 267.853091651413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50129181)-sin(0.50124977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876962503114627-0.876982705031963)×R²
    abs(0.45338720-0.45333926)×2.02019173355383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02019173355383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02019173355383e-05×40589641000000     		ar = 71740.0993611013m²