Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74992 / 56687
↖ ↑ ↗
← N 23.606778°
E 25.971680°		 ← 279.87 m → N 23.606778°
E 25.974426°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
N 23.604262°
E 25.971680°		 ← 279.87 m →
78 311 m²		 N 23.604262°
E 25.974426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572147369384766 y=0.432491302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572147369384766 × 217)
    floor (0.572147369384766 × 131072)
    floor (74992.5)     		tx = 74992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432491302490234 × 217)
    floor (0.432491302490234 × 131072)
    floor (56687.5)     		ty = 56687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74992 / 56687 ti = "17/74992/56687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74992/56687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74992 ÷ 217
    74992 ÷ 131072     		x = 0.5721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56687 ÷ 217
    56687 ÷ 131072     		y = 0.432487487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5721435546875 × 2 - 1) × π
    0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432487487792969 × 2 - 1) × π
    0.135025024414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.424193624737877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45329132} λ = 0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424193624737877))-π/2
    2×atan(1.52835749295539)-π/2
    2×0.991406169628494-π/2
    1.98281233925699-1.57079632675     		φ = 0.41201601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41201601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.606778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74992 KachelY 56687 0.45329132 0.41201601 25.971680 23.606778
    Oben rechts KachelX + 1 74993 KachelY 56687 0.45333926 0.41201601 25.974426 23.606778
    Unten links KachelX 74992 KachelY + 1 56688 0.45329132 0.41197209 25.971680 23.604262
    Unten rechts KachelX + 1 74993 KachelY + 1 56688 0.45333926 0.41197209 25.974426 23.604262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41201601-0.41197209) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dl = 279.814319999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41201601-0.41197209) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dr = 279.814319999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45329132-0.45333926) × cos(0.41201601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916315359244879 × 6371000     		do = 279.866296670873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45329132-0.45333926) × cos(0.41197209) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916332946451931 × 6371000     		du = 279.871668256602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41201601)-sin(0.41197209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916315359244879-0.916332946451931)×R²
    abs(0.45333926-0.45329132)×1.75872070520278e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75872070520278e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75872070520278e-05×40589641000000     		ar = 78311.3490297319m²