Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74992 / 55951
↖ ↑ ↗
← N 25.445755°
E 25.971680°		 ← 275.80 m → N 25.445755°
E 25.974426°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.443274°
E 25.971680°		 ← 275.80 m →
76 066 m²		 N 25.443274°
E 25.974426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572147369384766 y=0.426876068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572147369384766 × 217)
    floor (0.572147369384766 × 131072)
    floor (74992.5)     		tx = 74992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426876068115234 × 217)
    floor (0.426876068115234 × 131072)
    floor (55951.5)     		ty = 55951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74992 / 55951 ti = "17/74992/55951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74992/55951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74992 ÷ 217
    74992 ÷ 131072     		x = 0.5721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55951 ÷ 217
    55951 ÷ 131072     		y = 0.426872253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5721435546875 × 2 - 1) × π
    0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426872253417969 × 2 - 1) × π
    0.146255493164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.459475182858238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45329132} λ = 0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459475182858238))-π/2
    2×atan(1.58324285392833)-π/2
    2×1.00745426418099-π/2
    2.01490852836199-1.57079632675     		φ = 0.44411220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44411220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.445755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74992 KachelY 55951 0.45329132 0.44411220 25.971680 25.445755
    Oben rechts KachelX + 1 74993 KachelY 55951 0.45333926 0.44411220 25.974426 25.445755
    Unten links KachelX 74992 KachelY + 1 55952 0.45329132 0.44406891 25.971680 25.443274
    Unten rechts KachelX + 1 74993 KachelY + 1 55952 0.45333926 0.44406891 25.974426 25.443274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44411220-0.44406891) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dl = 275.800590000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44411220-0.44406891) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dr = 275.800590000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45329132-0.45333926) × cos(0.44411220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902992470138258 × 6371000     		do = 275.797143406544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45329132-0.45333926) × cos(0.44406891) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.903011069116525 × 6371000     		du = 275.802824013244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44411220)-sin(0.44406891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902992470138258-0.903011069116525)×R²
    abs(0.45333926-0.45329132)×1.85989782672813e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85989782672813e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85989782672813e-05×40589641000000     		ar = 76065.7982411217m²