Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74990 / 56685
↖ ↑ ↗
← N 23.611812°
E 25.966187°		 ← 279.86 m → N 23.611812°
E 25.968933°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
N 23.609295°
E 25.966187°		 ← 279.86 m →
78 308 m²		 N 23.609295°
E 25.968933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572132110595703 y=0.432476043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572132110595703 × 217)
    floor (0.572132110595703 × 131072)
    floor (74990.5)     		tx = 74990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432476043701172 × 217)
    floor (0.432476043701172 × 131072)
    floor (56685.5)     		ty = 56685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74990 / 56685 ti = "17/74990/56685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74990/56685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74990 ÷ 217
    74990 ÷ 131072     		x = 0.572128295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56685 ÷ 217
    56685 ÷ 131072     		y = 0.432472229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572128295898438 × 2 - 1) × π
    0.144256591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45319545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432472229003906 × 2 - 1) × π
    0.135055541992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.424289498537117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45319545} λ = 0.45319545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424289498537117))-π/2
    2×atan(1.52850402941923)-π/2
    2×0.991450094102577-π/2
    1.98290018820515-1.57079632675     		φ = 0.41210386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45319545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.966187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41210386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.611812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74990 KachelY 56685 0.45319545 0.41210386 25.966187 23.611812
    Oben rechts KachelX + 1 74991 KachelY 56685 0.45324339 0.41210386 25.968933 23.611812
    Unten links KachelX 74990 KachelY + 1 56686 0.45319545 0.41205994 25.966187 23.609295
    Unten rechts KachelX + 1 74991 KachelY + 1 56686 0.45324339 0.41205994 25.968933 23.609295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41210386-0.41205994) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dl = 279.814319999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41210386-0.41205994) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dr = 279.814319999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45319545-0.45324339) × cos(0.41210386) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916280175522805 × 6371000     		do = 279.855550656523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45319545-0.45324339) × cos(0.41205994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916297766265308 × 6371000     		du = 279.860923322069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41210386)-sin(0.41205994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916280175522805-0.916297766265308)×R²
    abs(0.45324339-0.45319545)×1.75907425035149e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75907425035149e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75907425035149e-05×40589641000000     		ar = 78308.3422921385m²