Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7499 / 5450
↖ ↑ ↗
← N 75.989521°
W 97.613525°		 ← 295.76 m → N 75.989521°
W 97.602539°		 →
↑
295.81 m
↓
↑
295.81 m
↓
N 75.986860°
W 97.613525°		 ← 295.81 m →
87 495 m²		 N 75.986860°
W 97.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228866577148438 y=0.166336059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228866577148438 × 215)
    floor (0.228866577148438 × 32768)
    floor (7499.5)     		tx = 7499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166336059570312 × 215)
    floor (0.166336059570312 × 32768)
    floor (5450.5)     		ty = 5450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7499 / 5450 ti = "15/7499/5450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7499/5450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7499 ÷ 215
    7499 ÷ 32768     		x = 0.228851318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5450 ÷ 215
    5450 ÷ 32768     		y = 0.16632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.54229736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70367741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16632080078125 × 2 - 1) × π
    0.6673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09656824178278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70367741} λ = -1.70367741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09656824178278))-π/2
    2×atan(8.13819362325363)-π/2
    2×1.4485318287959-π/2
    2.8970636575918-1.57079632675     		φ = 1.32626733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70367741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.613525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32626733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.989521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7499 KachelY 5450 -1.70367741 1.32626733 -97.613525 75.989521
    Oben rechts KachelX + 1 7500 KachelY 5450 -1.70348566 1.32626733 -97.602539 75.989521
    Unten links KachelX 7499 KachelY + 1 5451 -1.70367741 1.32622090 -97.613525 75.986860
    Unten rechts KachelX + 1 7500 KachelY + 1 5451 -1.70348566 1.32622090 -97.602539 75.986860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32626733-1.32622090) × R
    4.64300000000417e-05 × 6371000     		dl = 295.805530000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32626733-1.32622090) × R
    4.64300000000417e-05 × 6371000     		dr = 295.805530000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70367741--1.70348566) × cos(1.32626733) × R
    0.000191750000000157 × 0.24209936011118 × 6371000     		do = 295.758080711944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70367741--1.70348566) × cos(1.32622090) × R
    0.000191750000000157 × 0.2421444086256 × 6371000     		du = 295.813113745314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32626733)-sin(1.32622090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24209936011118-0.2421444086256)×R²
    abs(-1.70348566--1.70367741)×4.50485144199431e-05×R²
    0.000191750000000157×4.50485144199431e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.50485144199431e-05×40589641000000     		ar = 87495.0153705811m²