Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7499 / 5196
↖ ↑ ↗
← N 54.826008°
W 15.227051°		 ← 1 407.44 m → N 54.826008°
W 15.205078°		 →
↑
1 407.74 m
↓
↑
1 407.74 m
↓
N 54.813348°
W 15.227051°		 ← 1 407.88 m →
1 981 617 m²		 N 54.813348°
W 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457733154296875 y=0.317169189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457733154296875 × 214)
    floor (0.457733154296875 × 16384)
    floor (7499.5)     		tx = 7499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317169189453125 × 214)
    floor (0.317169189453125 × 16384)
    floor (5196.5)     		ty = 5196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7499 / 5196 ti = "14/7499/5196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7499/5196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7499 ÷ 214
    7499 ÷ 16384     		x = 0.45770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5196 ÷ 214
    5196 ÷ 16384     		y = 0.317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.0845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26576217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317138671875 × 2 - 1) × π
    0.36572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14895161009351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26576217} λ = -0.26576217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14895161009351))-π/2
    2×atan(3.15488362713281)-π/2
    2×1.26384534104247-π/2
    2.52769068208493-1.57079632675     		φ = 0.95689436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26576217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.227051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95689436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.826008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7499 KachelY 5196 -0.26576217 0.95689436 -15.227051 54.826008
    Oben rechts KachelX + 1 7500 KachelY 5196 -0.26537868 0.95689436 -15.205078 54.826008
    Unten links KachelX 7499 KachelY + 1 5197 -0.26576217 0.95667340 -15.227051 54.813348
    Unten rechts KachelX + 1 7500 KachelY + 1 5197 -0.26537868 0.95667340 -15.205078 54.813348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95689436-0.95667340) × R
    0.000220960000000048 × 6371000     		dl = 1407.7361600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95689436-0.95667340) × R
    0.000220960000000048 × 6371000     		dr = 1407.7361600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26576217--0.26537868) × cos(0.95689436) × R
    0.000383490000000042 × 0.576061330287118 × 6371000     		do = 1407.44156210472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26576217--0.26537868) × cos(0.95667340) × R
    0.000383490000000042 × 0.576241930357531 × 6371000     		du = 1407.88280686782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95689436)-sin(0.95667340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576061330287118-0.576241930357531)×R²
    abs(-0.26537868--0.26576217)×0.000180600070413095×R²
    0.000383490000000042×0.000180600070413095×6371000²
    0.000383490000000042×0.000180600070413095×40589641000000     		ar = 1981616.96622874m²