Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74989 / 57140
↖ ↑ ↗
← N 22.461802°
E 25.963440°		 ← 282.25 m → N 22.461802°
E 25.966187°		 →
↑
282.24 m
↓
↑
282.24 m
↓
N 22.459264°
E 25.963440°		 ← 282.26 m →
79 663 m²		 N 22.459264°
E 25.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572124481201172 y=0.435947418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572124481201172 × 217)
    floor (0.572124481201172 × 131072)
    floor (74989.5)     		tx = 74989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435947418212891 × 217)
    floor (0.435947418212891 × 131072)
    floor (57140.5)     		ty = 57140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74989 / 57140 ti = "17/74989/57140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74989/57140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74989 ÷ 217
    74989 ÷ 131072     		x = 0.572120666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57140 ÷ 217
    57140 ÷ 131072     		y = 0.435943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572120666503906 × 2 - 1) × π
    0.144241333007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45314751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435943603515625 × 2 - 1) × π
    0.12811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.402478209209991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45314751} λ = 0.45314751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402478209209991))-π/2
    2×atan(1.49552633616953)-π/2
    2×0.981414364116004-π/2
    1.96282872823201-1.57079632675     		φ = 0.39203240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45314751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.963440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39203240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.461802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74989 KachelY 57140 0.45314751 0.39203240 25.963440 22.461802
    Oben rechts KachelX + 1 74990 KachelY 57140 0.45319545 0.39203240 25.966187 22.461802
    Unten links KachelX 74989 KachelY + 1 57141 0.45314751 0.39198810 25.963440 22.459264
    Unten rechts KachelX + 1 74990 KachelY + 1 57141 0.45319545 0.39198810 25.966187 22.459264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39203240-0.39198810) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dl = 282.235299999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39203240-0.39198810) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dr = 282.235299999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45314751-0.45319545) × cos(0.39203240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.924134455217337 × 6371000     		do = 282.254449844394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45314751-0.45319545) × cos(0.39198810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92415137989696 × 6371000     		du = 282.259619077192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39203240)-sin(0.39198810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924134455217337-0.92415137989696)×R²
    abs(0.45319545-0.45314751)×1.69246796229983e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.69246796229983e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.69246796229983e-05×40589641000000     		ar = 79662.8988111219m²