Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74989 / 55578
↖ ↑ ↗
← N 26.367264°
E 25.963440°		 ← 273.65 m → N 26.367264°
E 25.966187°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.364803°
E 25.963440°		 ← 273.66 m →
74 881 m²		 N 26.364803°
E 25.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572124481201172 y=0.424030303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572124481201172 × 217)
    floor (0.572124481201172 × 131072)
    floor (74989.5)     		tx = 74989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424030303955078 × 217)
    floor (0.424030303955078 × 131072)
    floor (55578.5)     		ty = 55578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74989 / 55578 ti = "17/74989/55578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74989/55578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74989 ÷ 217
    74989 ÷ 131072     		x = 0.572120666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55578 ÷ 217
    55578 ÷ 131072     		y = 0.424026489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572120666503906 × 2 - 1) × π
    0.144241333007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45314751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424026489257812 × 2 - 1) × π
    0.151947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.477355646416519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45314751} λ = 0.45314751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477355646416519))-π/2
    2×atan(1.6118065753648)-π/2
    2×1.01549594794202-π/2
    2.03099189588404-1.57079632675     		φ = 0.46019557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45314751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.963440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46019557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.367264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74989 KachelY 55578 0.45314751 0.46019557 25.963440 26.367264
    Oben rechts KachelX + 1 74990 KachelY 55578 0.45319545 0.46019557 25.966187 26.367264
    Unten links KachelX 74989 KachelY + 1 55579 0.45314751 0.46015262 25.963440 26.364803
    Unten rechts KachelX + 1 74990 KachelY + 1 55579 0.45319545 0.46015262 25.966187 26.364803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46019557-0.46015262) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46019557-0.46015262) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45314751-0.45319545) × cos(0.46019557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89596565745886 × 6371000     		do = 273.650973944096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45314751-0.45319545) × cos(0.46015262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895984731729889 × 6371000     		du = 273.65679971744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46019557)-sin(0.46015262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89596565745886-0.895984731729889)×R²
    abs(0.45319545-0.45314751)×1.90742710289848e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90742710289848e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90742710289848e-05×40589641000000     		ar = 74881.1308248629m²