Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74988 / 57043
↖ ↑ ↗
← N 22.707789°
E 25.960694°		 ← 281.69 m → N 22.707789°
E 25.963440°		 →
↑
281.73 m
↓
↑
281.73 m
↓
N 22.705256°
E 25.960694°		 ← 281.70 m →
79 361 m²		 N 22.705256°
E 25.963440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572116851806641 y=0.435207366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572116851806641 × 217)
    floor (0.572116851806641 × 131072)
    floor (74988.5)     		tx = 74988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435207366943359 × 217)
    floor (0.435207366943359 × 131072)
    floor (57043.5)     		ty = 57043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74988 / 57043 ti = "17/74988/57043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74988/57043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74988 ÷ 217
    74988 ÷ 131072     		x = 0.572113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57043 ÷ 217
    57043 ÷ 131072     		y = 0.435203552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572113037109375 × 2 - 1) × π
    0.14422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45309958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435203552246094 × 2 - 1) × π
    0.129592895507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.407128088473137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45309958} λ = 0.45309958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407128088473137))-π/2
    2×atan(1.50249654582545)-π/2
    2×0.983561006938769-π/2
    1.96712201387754-1.57079632675     		φ = 0.39632569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45309958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39632569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.707789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74988 KachelY 57043 0.45309958 0.39632569 25.960694 22.707789
    Oben rechts KachelX + 1 74989 KachelY 57043 0.45314751 0.39632569 25.963440 22.707789
    Unten links KachelX 74988 KachelY + 1 57044 0.45309958 0.39628147 25.960694 22.705256
    Unten rechts KachelX + 1 74989 KachelY + 1 57044 0.45314751 0.39628147 25.963440 22.705256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39632569-0.39628147) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dl = 281.725619999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39632569-0.39628147) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dr = 281.725619999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45309958-0.45314751) × cos(0.39632569) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.922485617082847 × 6371000     		do = 281.692080678067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45309958-0.45314751) × cos(0.39628147) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.92250268649198 × 6371000     		du = 281.697293027491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39632569)-sin(0.39628147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922485617082847-0.92250268649198)×R²
    abs(0.45314751-0.45309958)×1.70694091324863e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.70694091324863e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.70694091324863e-05×40589641000000     		ar = 79360.6103172089m²