Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74986 / 56602
↖ ↑ ↗
← N 23.820526°
E 25.955200°		 ← 279.41 m → N 23.820526°
E 25.957947°		 →
↑
279.37 m
↓
↑
279.37 m
↓
N 23.818014°
E 25.955200°		 ← 279.41 m →
78 059 m²		 N 23.818014°
E 25.957947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572101593017578 y=0.431842803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572101593017578 × 217)
    floor (0.572101593017578 × 131072)
    floor (74986.5)     		tx = 74986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431842803955078 × 217)
    floor (0.431842803955078 × 131072)
    floor (56602.5)     		ty = 56602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74986 / 56602 ti = "17/74986/56602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74986/56602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74986 ÷ 217
    74986 ÷ 131072     		x = 0.572097778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56602 ÷ 217
    56602 ÷ 131072     		y = 0.431838989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572097778320312 × 2 - 1) × π
    0.144195556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45300370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431838989257812 × 2 - 1) × π
    0.136322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.428268261205582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45300370} λ = 0.45300370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428268261205582))-π/2
    2×atan(1.53459769878332)-π/2
    2×0.993271469048192-π/2
    1.98654293809638-1.57079632675     		φ = 0.41574661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45300370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.955200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41574661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.820526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74986 KachelY 56602 0.45300370 0.41574661 25.955200 23.820526
    Oben rechts KachelX + 1 74987 KachelY 56602 0.45305164 0.41574661 25.957947 23.820526
    Unten links KachelX 74986 KachelY + 1 56603 0.45300370 0.41570276 25.955200 23.818014
    Unten rechts KachelX + 1 74987 KachelY + 1 56603 0.45305164 0.41570276 25.957947 23.818014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41574661-0.41570276) × R
    4.38500000000119e-05 × 6371000     		dl = 279.368350000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41574661-0.41570276) × R
    4.38500000000119e-05 × 6371000     		dr = 279.368350000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45300370-0.45305164) × cos(0.41574661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914815039833645 × 6371000     		do = 279.408060504137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45300370-0.45305164) × cos(0.41570276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914832748787497 × 6371000     		du = 279.413469274472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41574661)-sin(0.41570276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914815039833645-0.914832748787497)×R²
    abs(0.45305164-0.45300370)×1.77089538524466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77089538524466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77089538524466e-05×40589641000000     		ar = 78058.5243718946m²