Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74985 / 56057
↖ ↑ ↗
← N 25.182573°
E 25.952453°		 ← 276.40 m → N 25.182573°
E 25.955200°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
N 25.180088°
E 25.952453°		 ← 276.40 m →
76 390 m²		 N 25.180088°
E 25.955200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572093963623047 y=0.427684783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572093963623047 × 217)
    floor (0.572093963623047 × 131072)
    floor (74985.5)     		tx = 74985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427684783935547 × 217)
    floor (0.427684783935547 × 131072)
    floor (56057.5)     		ty = 56057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74985 / 56057 ti = "17/74985/56057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74985/56057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74985 ÷ 217
    74985 ÷ 131072     		x = 0.572090148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56057 ÷ 217
    56057 ÷ 131072     		y = 0.427680969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572090148925781 × 2 - 1) × π
    0.144180297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45295576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427680969238281 × 2 - 1) × π
    0.144638061523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.454393871498512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45295576} λ = 0.45295576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454393871498512))-π/2
    2×atan(1.57521830890131)-π/2
    2×1.00515757312161-π/2
    2.01031514624322-1.57079632675     		φ = 0.43951882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45295576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.952453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43951882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.182573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74985 KachelY 56057 0.45295576 0.43951882 25.952453 25.182573
    Oben rechts KachelX + 1 74986 KachelY 56057 0.45300370 0.43951882 25.955200 25.182573
    Unten links KachelX 74985 KachelY + 1 56058 0.45295576 0.43947544 25.952453 25.180088
    Unten rechts KachelX + 1 74986 KachelY + 1 56058 0.45300370 0.43947544 25.955200 25.180088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43951882-0.43947544) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dl = 276.373979999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43951882-0.43947544) × R
    4.33799999999818e-05 × 6371000     		dr = 276.373979999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45295576-0.45300370) × cos(0.43951882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904956512023384 × 6371000     		do = 276.3970123527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45295576-0.45300370) × cos(0.43947544) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.904974969538336 × 6371000     		du = 276.402649752863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43951882)-sin(0.43947544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904956512023384-0.904974969538336)×R²
    abs(0.45300370-0.45295576)×1.84575149519972e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84575149519972e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84575149519972e-05×40589641000000     		ar = 76389.7213913024m²