Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74985 / 55576
↖ ↑ ↗
← N 26.372186°
E 25.952453°		 ← 273.64 m → N 26.372186°
E 25.955200°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.369725°
E 25.952453°		 ← 273.65 m →
74 878 m²		 N 26.369725°
E 25.955200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572093963623047 y=0.424015045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572093963623047 × 217)
    floor (0.572093963623047 × 131072)
    floor (74985.5)     		tx = 74985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424015045166016 × 217)
    floor (0.424015045166016 × 131072)
    floor (55576.5)     		ty = 55576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74985 / 55576 ti = "17/74985/55576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74985/55576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74985 ÷ 217
    74985 ÷ 131072     		x = 0.572090148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55576 ÷ 217
    55576 ÷ 131072     		y = 0.42401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572090148925781 × 2 - 1) × π
    0.144180297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45295576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42401123046875 × 2 - 1) × π
    0.1519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.477451520215759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45295576} λ = 0.45295576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477451520215759))-π/2
    2×atan(1.61196111279275)-π/2
    2×1.01553889684339-π/2
    2.03107779368677-1.57079632675     		φ = 0.46028147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45295576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.952453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46028147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.372186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74985 KachelY 55576 0.45295576 0.46028147 25.952453 26.372186
    Oben rechts KachelX + 1 74986 KachelY 55576 0.45300370 0.46028147 25.955200 26.372186
    Unten links KachelX 74985 KachelY + 1 55577 0.45295576 0.46023852 25.952453 26.369725
    Unten rechts KachelX + 1 74986 KachelY + 1 55577 0.45300370 0.46023852 25.955200 26.369725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46028147-0.46023852) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46028147-0.46023852) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45295576-0.45300370) × cos(0.46028147) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895927503958467 × 6371000     		do = 273.639320883005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45295576-0.45300370) × cos(0.46023852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895946581535041 × 6371000     		du = 273.645147665948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46028147)-sin(0.46023852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895927503958467-0.895946581535041)×R²
    abs(0.45300370-0.45295576)×1.90775765739337e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90775765739337e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90775765739337e-05×40589641000000     		ar = 74877.9422840425m²