Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74983 / 56648
↖ ↑ ↗
← N 23.704895°
E 25.946960°		 ← 279.66 m → N 23.704895°
E 25.949707°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 23.702380°
E 25.946960°		 ← 279.66 m →
78 199 m²		 N 23.702380°
E 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572078704833984 y=0.432193756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572078704833984 × 217)
    floor (0.572078704833984 × 131072)
    floor (74983.5)     		tx = 74983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432193756103516 × 217)
    floor (0.432193756103516 × 131072)
    floor (56648.5)     		ty = 56648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74983 / 56648 ti = "17/74983/56648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74983/56648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74983 ÷ 217
    74983 ÷ 131072     		x = 0.572074890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56648 ÷ 217
    56648 ÷ 131072     		y = 0.43218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572074890136719 × 2 - 1) × π
    0.144149780273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45285989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43218994140625 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.426063163823059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45285989} λ = 0.45285989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426063163823059))-π/2
    2×atan(1.53121748962937)-π/2
    2×0.992262392343609-π/2
    1.98452478468722-1.57079632675     		φ = 0.41372846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45285989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.946960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41372846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.704895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74983 KachelY 56648 0.45285989 0.41372846 25.946960 23.704895
    Oben rechts KachelX + 1 74984 KachelY 56648 0.45290783 0.41372846 25.949707 23.704895
    Unten links KachelX 74983 KachelY + 1 56649 0.45285989 0.41368457 25.946960 23.702380
    Unten rechts KachelX + 1 74984 KachelY + 1 56649 0.45290783 0.41368457 25.949707 23.702380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41372846-0.41368457) × R
    4.38900000000464e-05 × 6371000     		dl = 279.623190000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41372846-0.41368457) × R
    4.38900000000464e-05 × 6371000     		dr = 279.623190000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45285989-0.45290783) × cos(0.41372846) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915628252694238 × 6371000     		do = 279.656436644185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45285989-0.45290783) × cos(0.41368457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915645896733372 × 6371000     		du = 279.661825587894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41372846)-sin(0.41368457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915628252694238-0.915645896733372)×R²
    abs(0.45290783-0.45285989)×1.76440391336241e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76440391336241e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76440391336241e-05×40589641000000     		ar = 78199.178367944m²