Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74981 / 55019
↖ ↑ ↗
← N 27.734592°
E 25.941467°		 ← 270.28 m → N 27.734592°
E 25.944214°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
N 27.732161°
E 25.941467°		 ← 270.29 m →
73 063 m²		 N 27.732161°
E 25.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572063446044922 y=0.419765472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572063446044922 × 217)
    floor (0.572063446044922 × 131072)
    floor (74981.5)     		tx = 74981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419765472412109 × 217)
    floor (0.419765472412109 × 131072)
    floor (55019.5)     		ty = 55019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74981 / 55019 ti = "17/74981/55019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74981/55019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74981 ÷ 217
    74981 ÷ 131072     		x = 0.572059631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55019 ÷ 217
    55019 ÷ 131072     		y = 0.419761657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572059631347656 × 2 - 1) × π
    0.144119262695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45276402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419761657714844 × 2 - 1) × π
    0.160476684570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.504152373304131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45276402} λ = 0.45276402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504152373304131))-π/2
    2×atan(1.65558161037893)-π/2
    2×1.02742813494712-π/2
    2.05485626989423-1.57079632675     		φ = 0.48405994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45276402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.941467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48405994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.734592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74981 KachelY 55019 0.45276402 0.48405994 25.941467 27.734592
    Oben rechts KachelX + 1 74982 KachelY 55019 0.45281195 0.48405994 25.944214 27.734592
    Unten links KachelX 74981 KachelY + 1 55020 0.45276402 0.48401751 25.941467 27.732161
    Unten rechts KachelX + 1 74982 KachelY + 1 55020 0.45281195 0.48401751 25.944214 27.732161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48405994-0.48401751) × R
    4.24300000000377e-05 × 6371000     		dl = 270.32153000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48405994-0.48401751) × R
    4.24300000000377e-05 × 6371000     		dr = 270.32153000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45276402-0.45281195) × cos(0.48405994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885112821975101 × 6371000     		do = 270.279848097511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45276402-0.45281195) × cos(0.48401751) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88513256710351 × 6371000     		du = 270.285877510004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48405994)-sin(0.48401751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885112821975101-0.88513256710351)×R²
    abs(0.45281195-0.45276402)×1.97451284089656e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97451284089656e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97451284089656e-05×40589641000000     		ar = 73063.2770169829m²