Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7498 / 7476
↖ ↑ ↗
← S 81.440137°
E149.501953°		 ← 727.32 m → S 81.440137°
E149.545898°		 →
↑
727.06 m
↓
↑
727.06 m
↓
S 81.446675°
E149.501953°		 ← 726.77 m →
528 603 m²		 S 81.446675°
E149.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91534423828125 y=0.91265869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91534423828125 × 213)
    floor (0.91534423828125 × 8192)
    floor (7498.5)     		tx = 7498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91265869140625 × 213)
    floor (0.91265869140625 × 8192)
    floor (7476.5)     		ty = 7476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7498 / 7476 ti = "13/7498/7476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7498/7476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7498 ÷ 213
    7498 ÷ 8192     		x = 0.915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7476 ÷ 213
    7476 ÷ 8192     		y = 0.91259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60930132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    -0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60930132} λ = 2.60930132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59242753145264))-π/2
    2×atan(0.0748381474428201)-π/2
    2×0.0746988985403158-π/2
    0.149397797080632-1.57079632675     		φ = -1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60930132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7498 KachelY 7476 2.60930132 -1.42139853 149.501953 -81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 7499 KachelY 7476 2.61006831 -1.42139853 149.545898 -81.440137
    Unten links KachelX 7498 KachelY + 1 7477 2.60930132 -1.42151265 149.501953 -81.446675
    Unten rechts KachelX + 1 7499 KachelY + 1 7477 2.61006831 -1.42151265 149.545898 -81.446675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42139853--1.42151265) × R
    0.000114119999999884 × 6371000     		dl = 727.058519999263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42139853--1.42151265) × R
    0.000114119999999884 × 6371000     		dr = 727.058519999263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60930132-2.61006831) × cos(-1.42139853) × R
    0.000766989999999801 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 727.318680370271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60930132-2.61006831) × cos(-1.42151265) × R
    0.000766989999999801 × 0.148729814526745 × 6371000     		du = 726.767240707693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42139853)-sin(-1.42151265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.148729814526745)×R²
    abs(2.61006831-2.60930132)×0.000112849773825863×R²
    0.000766989999999801×0.000112849773825863×6371000²
    0.000766989999999801×0.000112849773825863×40589641000000     		ar = 528602.779437961m²