Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7498 / 7472
↖ ↑ ↗
← S 81.413933°
E149.501953°		 ← 729.53 m → S 81.413933°
E149.545898°		 →
↑
729.29 m
↓
↑
729.29 m
↓
S 81.420492°
E149.501953°		 ← 728.98 m →
531 835 m²		 S 81.420492°
E149.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91534423828125 y=0.91217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91534423828125 × 213)
    floor (0.91534423828125 × 8192)
    floor (7498.5)     		tx = 7498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91217041015625 × 213)
    floor (0.91217041015625 × 8192)
    floor (7472.5)     		ty = 7472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7498 / 7472 ti = "13/7498/7472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7498/7472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7498 ÷ 213
    7498 ÷ 8192     		x = 0.915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7472 ÷ 213
    7472 ÷ 8192     		y = 0.912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60930132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912109375 × 2 - 1) × π
    -0.82421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58935956987695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60930132} λ = 2.60930132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58935956987695))-π/2
    2×atan(0.0750681005668772)-π/2
    2×0.0749275670105992-π/2
    0.149855134021198-1.57079632675     		φ = -1.42094119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60930132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42094119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.413933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7498 KachelY 7472 2.60930132 -1.42094119 149.501953 -81.413933
    Oben rechts KachelX + 1 7499 KachelY 7472 2.61006831 -1.42094119 149.545898 -81.413933
    Unten links KachelX 7498 KachelY + 1 7473 2.60930132 -1.42105566 149.501953 -81.420492
    Unten rechts KachelX + 1 7499 KachelY + 1 7473 2.61006831 -1.42105566 149.545898 -81.420492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42094119--1.42105566) × R
    0.000114469999999978 × 6371000     		dl = 729.288369999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42094119--1.42105566) × R
    0.000114469999999978 × 6371000     		dr = 729.288369999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60930132-2.61006831) × cos(-1.42094119) × R
    0.000766989999999801 × 0.149294894358631 × 6371000     		do = 729.528499514521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60930132-2.61006831) × cos(-1.42105566) × R
    0.000766989999999801 × 0.149181706278584 × 6371000     		du = 728.975406720864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42094119)-sin(-1.42105566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149294894358631-0.149181706278584)×R²
    abs(2.61006831-2.60930132)×0.000113188080046928×R²
    0.000766989999999801×0.000113188080046928×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113188080046928×40589641000000     		ar = 531834.968788975m²