Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7498 / 5197
↖ ↑ ↗
← N 54.813348°
W 15.249024°		 ← 1 407.92 m → N 54.813348°
W 15.227051°		 →
↑
1 408.12 m
↓
↑
1 408.12 m
↓
N 54.800685°
W 15.249024°		 ← 1 408.36 m →
1 982 828 m²		 N 54.800685°
W 15.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457672119140625 y=0.317230224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457672119140625 × 214)
    floor (0.457672119140625 × 16384)
    floor (7498.5)     		tx = 7498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317230224609375 × 214)
    floor (0.317230224609375 × 16384)
    floor (5197.5)     		ty = 5197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7498 / 5197 ti = "14/7498/5197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7498/5197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7498 ÷ 214
    7498 ÷ 16384     		x = 0.4576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5197 ÷ 214
    5197 ÷ 16384     		y = 0.31719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31719970703125 × 2 - 1) × π
    0.3656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14856811489655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26614567} λ = -0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14856811489655))-π/2
    2×atan(3.15367397637729)-π/2
    2×1.26373486535138-π/2
    2.52746973070277-1.57079632675     		φ = 0.95667340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95667340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.813348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7498 KachelY 5197 -0.26614567 0.95667340 -15.249024 54.813348
    Oben rechts KachelX + 1 7499 KachelY 5197 -0.26576217 0.95667340 -15.227051 54.813348
    Unten links KachelX 7498 KachelY + 1 5198 -0.26614567 0.95645238 -15.249024 54.800685
    Unten rechts KachelX + 1 7499 KachelY + 1 5198 -0.26576217 0.95645238 -15.227051 54.800685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95667340-0.95645238) × R
    0.000221020000000016 × 6371000     		dl = 1408.1184200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95667340-0.95645238) × R
    0.000221020000000016 × 6371000     		dr = 1408.1184200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26614567--0.26576217) × cos(0.95667340) × R
    0.000383499999999981 × 0.576241930357531 × 6371000     		do = 1407.91951924098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26614567--0.26576217) × cos(0.95645238) × R
    0.000383499999999981 × 0.576422551323008 × 6371000     		du = 1408.36082656258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95667340)-sin(0.95645238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576241930357531-0.576422551323008)×R²
    abs(-0.26576217--0.26614567)×0.00018062096547633×R²
    0.000383499999999981×0.00018062096547633×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018062096547633×40589641000000     		ar = 1982828.12347681m²