Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74977 / 56349
↖ ↑ ↗
← N 24.454651°
E 25.930481°		 ← 278.03 m → N 24.454651°
E 25.933228°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
N 24.452150°
E 25.930481°		 ← 278.03 m →
77 300 m²		 N 24.452150°
E 25.933228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572032928466797 y=0.429912567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572032928466797 × 217)
    floor (0.572032928466797 × 131072)
    floor (74977.5)     		tx = 74977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429912567138672 × 217)
    floor (0.429912567138672 × 131072)
    floor (56349.5)     		ty = 56349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74977 / 56349 ti = "17/74977/56349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74977/56349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74977 ÷ 217
    74977 ÷ 131072     		x = 0.572029113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56349 ÷ 217
    56349 ÷ 131072     		y = 0.429908752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572029113769531 × 2 - 1) × π
    0.144058227539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45257227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429908752441406 × 2 - 1) × π
    0.140182495117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.440396296809456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45257227} λ = 0.45257227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440396296809456))-π/2
    2×atan(1.55332267337139)-π/2
    2×0.998805246538282-π/2
    1.99761049307656-1.57079632675     		φ = 0.42681417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45257227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.930481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42681417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.454651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74977 KachelY 56349 0.45257227 0.42681417 25.930481 24.454651
    Oben rechts KachelX + 1 74978 KachelY 56349 0.45262021 0.42681417 25.933228 24.454651
    Unten links KachelX 74977 KachelY + 1 56350 0.45257227 0.42677053 25.930481 24.452150
    Unten rechts KachelX + 1 74978 KachelY + 1 56350 0.45262021 0.42677053 25.933228 24.452150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42681417-0.42677053) × R
    4.36400000000114e-05 × 6371000     		dl = 278.030440000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42681417-0.42677053) × R
    4.36400000000114e-05 × 6371000     		dr = 278.030440000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45257227-0.45262021) × cos(0.42681417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91028921416098 × 6371000     		do = 278.025756849276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45257227-0.45262021) × cos(0.42677053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.910307279070721 × 6371000     		du = 278.031274337701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42681417)-sin(0.42677053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91028921416098-0.910307279070721)×R²
    abs(0.45262021-0.45257227)×1.80649097411001e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80649097411001e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80649097411001e-05×40589641000000     		ar = 77300.3905352989m²