Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74976 / 55520
↖ ↑ ↗
← N 26.509905°
E 25.927734°		 ← 273.31 m → N 26.509905°
E 25.930481°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.507447°
E 25.927734°		 ← 273.32 m →
74 701 m²		 N 26.507447°
E 25.930481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572025299072266 y=0.423587799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572025299072266 × 217)
    floor (0.572025299072266 × 131072)
    floor (74976.5)     		tx = 74976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423587799072266 × 217)
    floor (0.423587799072266 × 131072)
    floor (55520.5)     		ty = 55520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74976 / 55520 ti = "17/74976/55520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74976/55520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74976 ÷ 217
    74976 ÷ 131072     		x = 0.572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55520 ÷ 217
    55520 ÷ 131072     		y = 0.423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423583984375 × 2 - 1) × π
    0.15283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.480135986594482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45252433} λ = 0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480135986594482))-π/2
    2×atan(1.61629418159047)-π/2
    2×1.01674072262258-π/2
    2.03348144524515-1.57079632675     		φ = 0.46268512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46268512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.509905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74976 KachelY 55520 0.45252433 0.46268512 25.927734 26.509905
    Oben rechts KachelX + 1 74977 KachelY 55520 0.45257227 0.46268512 25.930481 26.509905
    Unten links KachelX 74976 KachelY + 1 55521 0.45252433 0.46264222 25.927734 26.507447
    Unten rechts KachelX + 1 74977 KachelY + 1 55521 0.45257227 0.46264222 25.930481 26.507447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46268512-0.46264222) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46268512-0.46264222) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45252433-0.45257227) × cos(0.46268512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894857214808168 × 6371000     		do = 273.312427027261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45252433-0.45257227) × cos(0.46264222) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894876362507481 × 6371000     		du = 273.318275227493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46268512)-sin(0.46264222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894857214808168-0.894876362507481)×R²
    abs(0.45257227-0.45252433)×1.91476993134376e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91476993134376e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91476993134376e-05×40589641000000     		ar = 74701.4311886161m²