Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74976 / 55008
↖ ↑ ↗
← N 27.761330°
E 25.927734°		 ← 270.27 m → N 27.761330°
E 25.930481°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 27.758899°
E 25.927734°		 ← 270.28 m →
73 043 m²		 N 27.758899°
E 25.930481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572025299072266 y=0.419681549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572025299072266 × 217)
    floor (0.572025299072266 × 131072)
    floor (74976.5)     		tx = 74976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419681549072266 × 217)
    floor (0.419681549072266 × 131072)
    floor (55008.5)     		ty = 55008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74976 / 55008 ti = "17/74976/55008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74976/55008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74976 ÷ 217
    74976 ÷ 131072     		x = 0.572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55008 ÷ 217
    55008 ÷ 131072     		y = 0.419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419677734375 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45252433} λ = 0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504679679199951))-π/2
    2×atan(1.65645483853204)-π/2
    2×1.02766146891226-π/2
    2.05532293782451-1.57079632675     		φ = 0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74976 KachelY 55008 0.45252433 0.48452661 25.927734 27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 74977 KachelY 55008 0.45257227 0.48452661 25.930481 27.761330
    Unten links KachelX 74976 KachelY + 1 55009 0.45252433 0.48448419 25.927734 27.758899
    Unten rechts KachelX + 1 74977 KachelY + 1 55009 0.45257227 0.48448419 25.930481 27.758899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48452661-0.48448419) × R
    4.2420000000043e-05 × 6371000     		dl = 270.257820000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48452661-0.48448419) × R
    4.2420000000043e-05 × 6371000     		dr = 270.257820000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45252433-0.45257227) × cos(0.48452661) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 270.269877677207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45252433-0.45257227) × cos(0.48448419) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.884915306343466 × 6371000     		du = 270.275912277415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48452661)-sin(0.48448419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.884915306343466)×R²
    abs(0.45257227-0.45252433)×1.9757994883185e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9757994883185e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9757994883185e-05×40589641000000     		ar = 73043.3634126519m²