Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74975 / 56665
↖ ↑ ↗
← N 23.662135°
E 25.924988°		 ← 279.69 m → N 23.662135°
E 25.927734°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
N 23.659619°
E 25.924988°		 ← 279.70 m →
78 244 m²		 N 23.659619°
E 25.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572017669677734 y=0.432323455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572017669677734 × 217)
    floor (0.572017669677734 × 131072)
    floor (74975.5)     		tx = 74975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432323455810547 × 217)
    floor (0.432323455810547 × 131072)
    floor (56665.5)     		ty = 56665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74975 / 56665 ti = "17/74975/56665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74975/56665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74975 ÷ 217
    74975 ÷ 131072     		x = 0.572013854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56665 ÷ 217
    56665 ÷ 131072     		y = 0.432319641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572013854980469 × 2 - 1) × π
    0.144027709960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.45247640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432319641113281 × 2 - 1) × π
    0.135360717773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.425248236529518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45247640} λ = 0.45247640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425248236529518))-π/2
    2×atan(1.52997016701237)-π/2
    2×0.991889246028839-π/2
    1.98377849205768-1.57079632675     		φ = 0.41298217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45247640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.924988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41298217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.662135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74975 KachelY 56665 0.45247640 0.41298217 25.924988 23.662135
    Oben rechts KachelX + 1 74976 KachelY 56665 0.45252433 0.41298217 25.927734 23.662135
    Unten links KachelX 74975 KachelY + 1 56666 0.45247640 0.41293826 25.924988 23.659619
    Unten rechts KachelX + 1 74976 KachelY + 1 56666 0.45252433 0.41293826 25.927734 23.659619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41298217-0.41293826) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dl = 279.750609999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41298217-0.41293826) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dr = 279.750609999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45247640-0.45252433) × cos(0.41298217) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.91592802566925 × 6371000     		do = 279.689641252102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45247640-0.45252433) × cos(0.41293826) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.915945647738132 × 6371000     		du = 279.695022362828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41298217)-sin(0.41293826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91592802566925-0.915945647738132)×R²
    abs(0.45252433-0.45247640)×1.7622068881451e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.7622068881451e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.7622068881451e-05×40589641000000     		ar = 78244.1004480278m²