Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74973 / 55897
↖ ↑ ↗
← N 25.579608°
E 25.919495°		 ← 275.49 m → N 25.579608°
E 25.922241°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.577130°
E 25.919495°		 ← 275.50 m →
75 893 m²		 N 25.577130°
E 25.922241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572002410888672 y=0.426464080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572002410888672 × 217)
    floor (0.572002410888672 × 131072)
    floor (74973.5)     		tx = 74973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426464080810547 × 217)
    floor (0.426464080810547 × 131072)
    floor (55897.5)     		ty = 55897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74973 / 55897 ti = "17/74973/55897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74973/55897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74973 ÷ 217
    74973 ÷ 131072     		x = 0.571998596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55897 ÷ 217
    55897 ÷ 131072     		y = 0.426460266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571998596191406 × 2 - 1) × π
    0.143997192382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45238052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426460266113281 × 2 - 1) × π
    0.147079467773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.462063775437721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45238052} λ = 0.45238052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462063775437721))-π/2
    2×atan(1.58734653371756)-π/2
    2×1.00862235322266-π/2
    2.01724470644531-1.57079632675     		φ = 0.44644838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45238052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.919495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44644838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.579608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74973 KachelY 55897 0.45238052 0.44644838 25.919495 25.579608
    Oben rechts KachelX + 1 74974 KachelY 55897 0.45242846 0.44644838 25.922241 25.579608
    Unten links KachelX 74973 KachelY + 1 55898 0.45238052 0.44640514 25.919495 25.577130
    Unten rechts KachelX + 1 74974 KachelY + 1 55898 0.45242846 0.44640514 25.922241 25.577130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44644838-0.44640514) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44644838-0.44640514) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45238052-0.45242846) × cos(0.44644838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901986252279199 × 6371000     		do = 275.48981857202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45238052-0.45242846) × cos(0.44640514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90200492094383 × 6371000     		du = 275.49552046273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44644838)-sin(0.44640514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901986252279199-0.90200492094383)×R²
    abs(0.45242846-0.45238052)×1.86686646314049e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86686646314049e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86686646314049e-05×40589641000000     		ar = 75893.2826154839m²