Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7497 / 7462
↖ ↑ ↗
← S 81.348076°
E149.458008°		 ← 735.08 m → S 81.348076°
E149.501953°		 →
↑
734.83 m
↓
↑
734.83 m
↓
S 81.354684°
E149.458008°		 ← 734.52 m →
539 956 m²		 S 81.354684°
E149.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91522216796875 y=0.91094970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91522216796875 × 213)
    floor (0.91522216796875 × 8192)
    floor (7497.5)     		tx = 7497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91094970703125 × 213)
    floor (0.91094970703125 × 8192)
    floor (7462.5)     		ty = 7462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7497 / 7462 ti = "13/7497/7462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7497/7462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7497 ÷ 213
    7497 ÷ 8192     		x = 0.9151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7462 ÷ 213
    7462 ÷ 8192     		y = 0.910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9151611328125 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60853433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.82177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58168966593774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60853433} λ = 2.60853433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58168966593774))-π/2
    2×atan(0.075646079374677)-π/2
    2×0.0755022821729362-π/2
    0.151004564345872-1.57079632675     		φ = -1.41979176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60853433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41979176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.348076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7497 KachelY 7462 2.60853433 -1.41979176 149.458008 -81.348076
    Oben rechts KachelX + 1 7498 KachelY 7462 2.60930132 -1.41979176 149.501953 -81.348076
    Unten links KachelX 7497 KachelY + 1 7463 2.60853433 -1.41990710 149.458008 -81.354684
    Unten rechts KachelX + 1 7498 KachelY + 1 7463 2.60930132 -1.41990710 149.501953 -81.354684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41979176--1.41990710) × R
    0.000115340000000019 × 6371000     		dl = 734.831140000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41979176--1.41990710) × R
    0.000115340000000019 × 6371000     		dr = 734.831140000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60853433-2.60930132) × cos(-1.41979176) × R
    0.000766990000000245 × 0.150431343496113 × 6371000     		do = 735.081750599676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60853433-2.60930132) × cos(-1.41990710) × R
    0.000766990000000245 × 0.150317315012069 × 6371000     		du = 734.524551177525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41979176)-sin(-1.41990710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150431343496113-0.150317315012069)×R²
    abs(2.60930132-2.60853433)×0.000114028484044265×R²
    0.000766990000000245×0.000114028484044265×6371000²
    0.000766990000000245×0.000114028484044265×40589641000000     		ar = 539956.237642462m²