Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7497 / 7344
↖ ↑ ↗
← S 80.532071°
E149.458008°		 ← 803.81 m → S 80.532071°
E149.501953°		 →
↑
803.51 m
↓
↑
803.51 m
↓
S 80.539297°
E149.458008°		 ← 803.20 m →
645 623 m²		 S 80.539297°
E149.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91522216796875 y=0.89654541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91522216796875 × 213)
    floor (0.91522216796875 × 8192)
    floor (7497.5)     		tx = 7497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89654541015625 × 213)
    floor (0.89654541015625 × 8192)
    floor (7344.5)     		ty = 7344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7497 / 7344 ti = "13/7497/7344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7497/7344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7497 ÷ 213
    7497 ÷ 8192     		x = 0.9151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7344 ÷ 213
    7344 ÷ 8192     		y = 0.896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9151611328125 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60853433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896484375 × 2 - 1) × π
    -0.79296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49118479945508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60853433} λ = 2.60853433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49118479945508))-π/2
    2×atan(0.0828117930614009)-π/2
    2×0.0826232661358761-π/2
    0.165246532271752-1.57079632675     		φ = -1.40554979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60853433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40554979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.532071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7497 KachelY 7344 2.60853433 -1.40554979 149.458008 -80.532071
    Oben rechts KachelX + 1 7498 KachelY 7344 2.60930132 -1.40554979 149.501953 -80.532071
    Unten links KachelX 7497 KachelY + 1 7345 2.60853433 -1.40567591 149.458008 -80.539297
    Unten rechts KachelX + 1 7498 KachelY + 1 7345 2.60930132 -1.40567591 149.501953 -80.539297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40554979--1.40567591) × R
    0.000126120000000007 × 6371000     		dl = 803.510520000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40554979--1.40567591) × R
    0.000126120000000007 × 6371000     		dr = 803.510520000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60853433-2.60930132) × cos(-1.40554979) × R
    0.000766990000000245 × 0.164495514416111 × 6371000     		do = 803.806227429683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60853433-2.60930132) × cos(-1.40567591) × R
    0.000766990000000245 × 0.164371111136126 × 6371000     		du = 803.198331636779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40554979)-sin(-1.40567591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164495514416111-0.164371111136126)×R²
    abs(2.60930132-2.60853433)×0.000124403279985585×R²
    0.000766990000000245×0.000124403279985585×6371000²
    0.000766990000000245×0.000124403279985585×40589641000000     		ar = 645622.535305332m²