Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7497 / 10333
↖ ↑ ↗
← S 42.504503°
W 15.270996°		 ← 1 801.20 m → S 42.504503°
W 15.249024°		 →
↑
1 801.02 m
↓
↑
1 801.02 m
↓
S 42.520700°
W 15.270996°		 ← 1 800.73 m →
3 243 568 m²		 S 42.520700°
W 15.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457611083984375 y=0.630706787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457611083984375 × 214)
    floor (0.457611083984375 × 16384)
    floor (7497.5)     		tx = 7497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630706787109375 × 214)
    floor (0.630706787109375 × 16384)
    floor (10333.5)     		ty = 10333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7497 / 10333 ti = "14/7497/10333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7497/10333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7497 ÷ 214
    7497 ÷ 16384     		x = 0.45758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10333 ÷ 214
    10333 ÷ 16384     		y = 0.63067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.0848388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26652916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.821063216692322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26652916} λ = -0.26652916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821063216692322))-π/2
    2×atan(0.439963629069419)-π/2
    2×0.414476402552095-π/2
    0.82895280510419-1.57079632675     		φ = -0.74184352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26652916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.270996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74184352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.504503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7497 KachelY 10333 -0.26652916 -0.74184352 -15.270996 -42.504503
    Oben rechts KachelX + 1 7498 KachelY 10333 -0.26614567 -0.74184352 -15.249024 -42.504503
    Unten links KachelX 7497 KachelY + 1 10334 -0.26652916 -0.74212621 -15.270996 -42.520700
    Unten rechts KachelX + 1 7498 KachelY + 1 10334 -0.26614567 -0.74212621 -15.249024 -42.520700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74184352--0.74212621) × R
    0.00028269000000003 × 6371000     		dl = 1801.01799000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74184352--0.74212621) × R
    0.00028269000000003 × 6371000     		dr = 1801.01799000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26652916--0.26614567) × cos(-0.74184352) × R
    0.000383489999999986 × 0.73722424131614 × 6371000     		do = 1801.19716993006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26652916--0.26614567) × cos(-0.74212621) × R
    0.000383489999999986 × 0.737033212886984 × 6371000     		du = 1800.73044644663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74184352)-sin(-0.74212621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73722424131614-0.737033212886984)×R²
    abs(-0.26614567--0.26652916)×0.000191028429155526×R²
    0.000383489999999986×0.000191028429155526×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191028429155526×40589641000000     		ar = 3243568.23948648m²