Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74968 / 56008
↖ ↑ ↗
← N 25.304304°
E 25.905762°		 ← 276.06 m → N 25.304304°
E 25.908508°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
N 25.301821°
E 25.905762°		 ← 276.07 m →
76 227 m²		 N 25.301821°
E 25.908508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571964263916016 y=0.427310943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571964263916016 × 217)
    floor (0.571964263916016 × 131072)
    floor (74968.5)     		tx = 74968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427310943603516 × 217)
    floor (0.427310943603516 × 131072)
    floor (56008.5)     		ty = 56008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74968 / 56008 ti = "17/74968/56008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74968/56008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74968 ÷ 217
    74968 ÷ 131072     		x = 0.57196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56008 ÷ 217
    56008 ÷ 131072     		y = 0.42730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57196044921875 × 2 - 1) × π
    0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42730712890625 × 2 - 1) × π
    0.1453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.456742779579895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45214084} λ = 0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456742779579895))-π/2
    2×atan(1.57892270085192)-π/2
    2×1.00621987119837-π/2
    2.01243974239673-1.57079632675     		φ = 0.44164342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44164342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.304304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74968 KachelY 56008 0.45214084 0.44164342 25.905762 25.304304
    Oben rechts KachelX + 1 74969 KachelY 56008 0.45218877 0.44164342 25.908508 25.304304
    Unten links KachelX 74968 KachelY + 1 56009 0.45214084 0.44160008 25.905762 25.301821
    Unten rechts KachelX + 1 74969 KachelY + 1 56009 0.45218877 0.44160008 25.908508 25.301821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44164342-0.44160008) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dl = 276.119140000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44164342-0.44160008) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dr = 276.119140000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.44164342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904050444309756 × 6371000     		do = 276.062678896998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.44160008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904068968093826 × 6371000     		du = 276.068335357305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44164342)-sin(0.44160008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904050444309756-0.904068968093826)×R²
    abs(0.45218877-0.45214084)×1.85237840697461e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85237840697461e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85237840697461e-05×40589641000000     		ar = 76226.9704235848m²