Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74968 / 55899
↖ ↑ ↗
← N 25.574653°
E 25.905762°		 ← 275.44 m → N 25.574653°
E 25.908508°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.572176°
E 25.905762°		 ← 275.45 m →
75 881 m²		 N 25.572176°
E 25.908508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571964263916016 y=0.426479339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571964263916016 × 217)
    floor (0.571964263916016 × 131072)
    floor (74968.5)     		tx = 74968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426479339599609 × 217)
    floor (0.426479339599609 × 131072)
    floor (55899.5)     		ty = 55899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74968 / 55899 ti = "17/74968/55899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74968/55899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74968 ÷ 217
    74968 ÷ 131072     		x = 0.57196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55899 ÷ 217
    55899 ÷ 131072     		y = 0.426475524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57196044921875 × 2 - 1) × π
    0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426475524902344 × 2 - 1) × π
    0.147048950195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.461967901638481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45214084} λ = 0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461967901638481))-π/2
    2×atan(1.5871943560697)-π/2
    2×1.00857911390333-π/2
    2.01715822780666-1.57079632675     		φ = 0.44636190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44636190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.574653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74968 KachelY 55899 0.45214084 0.44636190 25.905762 25.574653
    Oben rechts KachelX + 1 74969 KachelY 55899 0.45218877 0.44636190 25.908508 25.574653
    Unten links KachelX 74968 KachelY + 1 55900 0.45214084 0.44631866 25.905762 25.572176
    Unten rechts KachelX + 1 74969 KachelY + 1 55900 0.45218877 0.44631866 25.908508 25.572176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44636190-0.44631866) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44636190-0.44631866) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.44636190) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902023587921985 × 6371000     		do = 275.443753915909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.44631866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902042253213629 × 6371000     		du = 275.449453587256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44636190)-sin(0.44631866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902023587921985-0.902042253213629)×R²
    abs(0.45218877-0.45214084)×1.8665291643627e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8665291643627e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8665291643627e-05×40589641000000     		ar = 75880.5923243827m²