Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74968 / 55896
↖ ↑ ↗
← N 25.582085°
E 25.905762°		 ← 275.43 m → N 25.582085°
E 25.908508°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.579608°
E 25.905762°		 ← 275.43 m →
75 876 m²		 N 25.579608°
E 25.908508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571964263916016 y=0.426456451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571964263916016 × 217)
    floor (0.571964263916016 × 131072)
    floor (74968.5)     		tx = 74968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426456451416016 × 217)
    floor (0.426456451416016 × 131072)
    floor (55896.5)     		ty = 55896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74968 / 55896 ti = "17/74968/55896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74968/55896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74968 ÷ 217
    74968 ÷ 131072     		x = 0.57196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55896 ÷ 217
    55896 ÷ 131072     		y = 0.42645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57196044921875 × 2 - 1) × π
    0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42645263671875 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.462111712337341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45214084} λ = 0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462111712337341))-π/2
    2×atan(1.58742262801285)-π/2
    2×1.00864397221114-π/2
    2.01728794442228-1.57079632675     		φ = 0.44649162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44649162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.582085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74968 KachelY 55896 0.45214084 0.44649162 25.905762 25.582085
    Oben rechts KachelX + 1 74969 KachelY 55896 0.45218877 0.44649162 25.908508 25.582085
    Unten links KachelX 74968 KachelY + 1 55897 0.45214084 0.44644838 25.905762 25.579608
    Unten rechts KachelX + 1 74969 KachelY + 1 55897 0.45218877 0.44644838 25.908508 25.579608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44649162-0.44644838) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44649162-0.44644838) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.44649162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901967581928126 × 6371000     		do = 275.426651811932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.44644838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901986252279199 × 6371000     		du = 275.432353028237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44649162)-sin(0.44644838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901967581928126-0.901986252279199)×R²
    abs(0.45218877-0.45214084)×1.86703510728359e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86703510728359e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86703510728359e-05×40589641000000     		ar = 75875.8812147485m²