Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74968 / 55672
↖ ↑ ↗
← N 26.135713°
E 25.905762°		 ← 274.14 m → N 26.135713°
E 25.908508°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.133248°
E 25.905762°		 ← 274.15 m →
75 155 m²		 N 26.133248°
E 25.908508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571964263916016 y=0.424747467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571964263916016 × 217)
    floor (0.571964263916016 × 131072)
    floor (74968.5)     		tx = 74968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424747467041016 × 217)
    floor (0.424747467041016 × 131072)
    floor (55672.5)     		ty = 55672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74968 / 55672 ti = "17/74968/55672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74968/55672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74968 ÷ 217
    74968 ÷ 131072     		x = 0.57196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55672 ÷ 217
    55672 ÷ 131072     		y = 0.42474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57196044921875 × 2 - 1) × π
    0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42474365234375 × 2 - 1) × π
    0.1505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.472849577852234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45214084} λ = 0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472849577852234))-π/2
    2×atan(1.60456000346036)-π/2
    2×1.01347529084548-π/2
    2.02695058169095-1.57079632675     		φ = 0.45615425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45615425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.135713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74968 KachelY 55672 0.45214084 0.45615425 25.905762 26.135713
    Oben rechts KachelX + 1 74969 KachelY 55672 0.45218877 0.45615425 25.908508 26.135713
    Unten links KachelX 74968 KachelY + 1 55673 0.45214084 0.45611122 25.905762 26.133248
    Unten rechts KachelX + 1 74969 KachelY + 1 55673 0.45218877 0.45611122 25.908508 26.133248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45615425-0.45611122) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45615425-0.45611122) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.45615425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.897753180542083 × 6371000     		do = 274.139733649455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45214084-0.45218877) × cos(0.45611122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.897772134375972 × 6371000     		du = 274.145521430647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45615425)-sin(0.45611122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897753180542083-0.897772134375972)×R²
    abs(0.45218877-0.45214084)×1.89538338887241e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89538338887241e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89538338887241e-05×40589641000000     		ar = 75154.5921344922m²