Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74966 / 55898
↖ ↑ ↗
← N 25.577130°
E 25.900268°		 ← 275.50 m → N 25.577130°
E 25.903015°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.574653°
E 25.900268°		 ← 275.50 m →
75 895 m²		 N 25.574653°
E 25.903015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571949005126953 y=0.426471710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571949005126953 × 217)
    floor (0.571949005126953 × 131072)
    floor (74966.5)     		tx = 74966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426471710205078 × 217)
    floor (0.426471710205078 × 131072)
    floor (55898.5)     		ty = 55898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74966 / 55898 ti = "17/74966/55898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74966/55898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74966 ÷ 217
    74966 ÷ 131072     		x = 0.571945190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55898 ÷ 217
    55898 ÷ 131072     		y = 0.426467895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571945190429688 × 2 - 1) × π
    0.143890380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45204496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426467895507812 × 2 - 1) × π
    0.147064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.462015838538101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45204496} λ = 0.45204496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462015838538101))-π/2
    2×atan(1.5872704430699)-π/2
    2×1.00860073378671-π/2
    2.01720146757342-1.57079632675     		φ = 0.44640514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45204496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.900268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44640514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.577130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74966 KachelY 55898 0.45204496 0.44640514 25.900268 25.577130
    Oben rechts KachelX + 1 74967 KachelY 55898 0.45209290 0.44640514 25.903015 25.577130
    Unten links KachelX 74966 KachelY + 1 55899 0.45204496 0.44636190 25.900268 25.574653
    Unten rechts KachelX + 1 74967 KachelY + 1 55899 0.45209290 0.44636190 25.903015 25.574653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44640514-0.44636190) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44640514-0.44636190) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45204496-0.45209290) × cos(0.44640514) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90200492094383 × 6371000     		do = 275.495520463049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45204496-0.45209290) × cos(0.44636190) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902023587921985 × 6371000     		du = 275.501221838666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44640514)-sin(0.44636190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90200492094383-0.902023587921985)×R²
    abs(0.45209290-0.45204496)×1.86669781548909e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86669781548909e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86669781548909e-05×40589641000000     		ar = 75894.8533131961m²