Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74965 / 55903
↖ ↑ ↗
← N 25.564743°
E 25.897522°		 ← 275.47 m → N 25.564743°
E 25.900268°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 25.562265°
E 25.897522°		 ← 275.47 m →
75 887 m²		 N 25.562265°
E 25.900268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571941375732422 y=0.426509857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571941375732422 × 217)
    floor (0.571941375732422 × 131072)
    floor (74965.5)     		tx = 74965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426509857177734 × 217)
    floor (0.426509857177734 × 131072)
    floor (55903.5)     		ty = 55903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74965 / 55903 ti = "17/74965/55903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74965/55903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74965 ÷ 217
    74965 ÷ 131072     		x = 0.571937561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55903 ÷ 217
    55903 ÷ 131072     		y = 0.426506042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571937561035156 × 2 - 1) × π
    0.143875122070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45199703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426506042480469 × 2 - 1) × π
    0.146987915039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.461776154040001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45199703} λ = 0.45199703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.461776154040001))-π/2
    2×atan(1.58689004454004)-π/2
    2×1.00849262989612-π/2
    2.01698525979225-1.57079632675     		φ = 0.44618893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45199703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.897522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44618893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.564743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74965 KachelY 55903 0.45199703 0.44618893 25.897522 25.564743
    Oben rechts KachelX + 1 74966 KachelY 55903 0.45204496 0.44618893 25.900268 25.564743
    Unten links KachelX 74965 KachelY + 1 55904 0.45199703 0.44614569 25.897522 25.562265
    Unten rechts KachelX + 1 74966 KachelY + 1 55904 0.45204496 0.44614569 25.900268 25.562265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44618893-0.44614569) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dl = 275.48204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44618893-0.44614569) × R
    4.32399999999999e-05 × 6371000     		dr = 275.48204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45199703-0.45204496) × cos(0.44618893) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.902098243284449 × 6371000     		do = 275.466550828623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45199703-0.45204496) × cos(0.44614569) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.902116901829309 × 6371000     		du = 275.472248439758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44618893)-sin(0.44614569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902098243284449-0.902116901829309)×R²
    abs(0.45204496-0.45199703)×1.86585448592735e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86585448592735e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86585448592735e-05×40589641000000     		ar = 75886.8721806452m²