Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74961 / 55340
↖ ↑ ↗
← N 26.951453°
E 25.886536°		 ← 272.25 m → N 26.951453°
E 25.889282°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.949005°
E 25.886536°		 ← 272.26 m →
74 117 m²		 N 26.949005°
E 25.889282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571910858154297 y=0.422214508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571910858154297 × 217)
    floor (0.571910858154297 × 131072)
    floor (74961.5)     		tx = 74961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422214508056641 × 217)
    floor (0.422214508056641 × 131072)
    floor (55340.5)     		ty = 55340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74961 / 55340 ti = "17/74961/55340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74961/55340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74961 ÷ 217
    74961 ÷ 131072     		x = 0.571907043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55340 ÷ 217
    55340 ÷ 131072     		y = 0.422210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571907043457031 × 2 - 1) × π
    0.143814086914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45180528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422210693359375 × 2 - 1) × π
    0.15557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488764628526093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45180528} λ = 0.45180528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488764628526093))-π/2
    2×atan(1.63030094812182)-π/2
    2×1.02059396064313-π/2
    2.04118792128627-1.57079632675     		φ = 0.47039159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45180528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.886536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47039159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.951453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74961 KachelY 55340 0.45180528 0.47039159 25.886536 26.951453
    Oben rechts KachelX + 1 74962 KachelY 55340 0.45185322 0.47039159 25.889282 26.951453
    Unten links KachelX 74961 KachelY + 1 55341 0.45180528 0.47034886 25.886536 26.949005
    Unten rechts KachelX + 1 74962 KachelY + 1 55341 0.45185322 0.47034886 25.889282 26.949005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47039159-0.47034886) × R
    4.27300000000463e-05 × 6371000     		dl = 272.232830000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47039159-0.47034886) × R
    4.27300000000463e-05 × 6371000     		dr = 272.232830000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45180528-0.45185322) × cos(0.47039159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891390874101614 × 6371000     		do = 272.253717351869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45180528-0.45185322) × cos(0.47034886) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891410240035616 × 6371000     		du = 272.259632206592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47039159)-sin(0.47034886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891390874101614-0.891410240035616)×R²
    abs(0.45185322-0.45180528)×1.93659340017582e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93659340017582e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93659340017582e-05×40589641000000     		ar = 74117.2050728629m²