Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74958 / 55895
↖ ↑ ↗
← N 25.584562°
E 25.878296°		 ← 275.48 m → N 25.584562°
E 25.881043°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
N 25.582085°
E 25.878296°		 ← 275.48 m →
75 873 m²		 N 25.582085°
E 25.881043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571887969970703 y=0.426448822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571887969970703 × 217)
    floor (0.571887969970703 × 131072)
    floor (74958.5)     		tx = 74958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426448822021484 × 217)
    floor (0.426448822021484 × 131072)
    floor (55895.5)     		ty = 55895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74958 / 55895 ti = "17/74958/55895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74958/55895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74958 ÷ 217
    74958 ÷ 131072     		x = 0.571884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55895 ÷ 217
    55895 ÷ 131072     		y = 0.426445007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571884155273438 × 2 - 1) × π
    0.143768310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45166147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426445007324219 × 2 - 1) × π
    0.147109985351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.462159649236961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45166147} λ = 0.45166147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462159649236961))-π/2
    2×atan(1.58749872595596)-π/2
    2×1.00866559075213-π/2
    2.01733118150426-1.57079632675     		φ = 0.44653485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45166147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.878296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44653485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.584562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74958 KachelY 55895 0.45166147 0.44653485 25.878296 25.584562
    Oben rechts KachelX + 1 74959 KachelY 55895 0.45170941 0.44653485 25.881043 25.584562
    Unten links KachelX 74958 KachelY + 1 55896 0.45166147 0.44649162 25.878296 25.582085
    Unten rechts KachelX + 1 74959 KachelY + 1 55896 0.45170941 0.44649162 25.881043 25.582085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44653485-0.44649162) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dl = 275.418330000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44653485-0.44649162) × R
    4.32300000000052e-05 × 6371000     		dr = 275.418330000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45166147-0.45170941) × cos(0.44653485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901948914209074 × 6371000     		do = 275.478414564322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45166147-0.45170941) × cos(0.44649162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901967581928126 × 6371000     		du = 275.484116166228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44653485)-sin(0.44649162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901948914209074-0.901967581928126)×R²
    abs(0.45170941-0.45166147)×1.86677190520124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86677190520124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86677190520124e-05×40589641000000     		ar = 75872.5900649369m²