Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74958 / 54063
↖ ↑ ↗
← N 30.033433°
E 25.878296°		 ← 264.42 m → N 30.033433°
E 25.881043°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
N 30.031056°
E 25.878296°		 ← 264.42 m →
69 912 m²		 N 30.031056°
E 25.881043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571887969970703 y=0.412471771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571887969970703 × 217)
    floor (0.571887969970703 × 131072)
    floor (74958.5)     		tx = 74958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412471771240234 × 217)
    floor (0.412471771240234 × 131072)
    floor (54063.5)     		ty = 54063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74958 / 54063 ti = "17/74958/54063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74958/54063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74958 ÷ 217
    74958 ÷ 131072     		x = 0.571884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54063 ÷ 217
    54063 ÷ 131072     		y = 0.412467956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571884155273438 × 2 - 1) × π
    0.143768310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45166147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412467956542969 × 2 - 1) × π
    0.175064086914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.549980049340904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45166147} λ = 0.45166147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.549980049340904))-π/2
    2×atan(1.73321843867225)-π/2
    2×1.04748931145044-π/2
    2.09497862290087-1.57079632675     		φ = 0.52418230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45166147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.878296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52418230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.033433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74958 KachelY 54063 0.45166147 0.52418230 25.878296 30.033433
    Oben rechts KachelX + 1 74959 KachelY 54063 0.45170941 0.52418230 25.881043 30.033433
    Unten links KachelX 74958 KachelY + 1 54064 0.45166147 0.52414080 25.878296 30.031056
    Unten rechts KachelX + 1 74959 KachelY + 1 54064 0.45170941 0.52414080 25.881043 30.031056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52418230-0.52414080) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dl = 264.396500000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52418230-0.52414080) × R
    4.15000000000276e-05 × 6371000     		dr = 264.396500000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45166147-0.45170941) × cos(0.52418230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.86573349415901 × 6371000     		do = 264.417293096128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45166147-0.45170941) × cos(0.52414080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865754264381864 × 6371000     		du = 264.423636856813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52418230)-sin(0.52414080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86573349415901-0.865754264381864)×R²
    abs(0.45170941-0.45166147)×2.07702228540718e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07702228540718e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07702228540718e-05×40589641000000     		ar = 69911.8454783715m²