Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74954 / 55977
↖ ↑ ↗
← N 25.381254°
E 25.867310°		 ← 275.94 m → N 25.381254°
E 25.870056°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
N 25.378772°
E 25.867310°		 ← 275.95 m →
76 142 m²		 N 25.378772°
E 25.870056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571857452392578 y=0.427074432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571857452392578 × 217)
    floor (0.571857452392578 × 131072)
    floor (74954.5)     		tx = 74954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427074432373047 × 217)
    floor (0.427074432373047 × 131072)
    floor (55977.5)     		ty = 55977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74954 / 55977 ti = "17/74954/55977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74954/55977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74954 ÷ 217
    74954 ÷ 131072     		x = 0.571853637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55977 ÷ 217
    55977 ÷ 131072     		y = 0.427070617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571853637695312 × 2 - 1) × π
    0.143707275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45146972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427070617675781 × 2 - 1) × π
    0.145858764648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.458228823468117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45146972} λ = 0.45146972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458228823468117))-π/2
    2×atan(1.58127079353377)-π/2
    2×1.00689138702941-π/2
    2.01378277405881-1.57079632675     		φ = 0.44298645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45146972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.867310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44298645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.381254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74954 KachelY 55977 0.45146972 0.44298645 25.867310 25.381254
    Oben rechts KachelX + 1 74955 KachelY 55977 0.45151766 0.44298645 25.870056 25.381254
    Unten links KachelX 74954 KachelY + 1 55978 0.45146972 0.44294314 25.867310 25.378772
    Unten rechts KachelX + 1 74955 KachelY + 1 55978 0.45151766 0.44294314 25.870056 25.378772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44298645-0.44294314) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44298645-0.44294314) × R
    4.33099999999631e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45146972-0.45151766) × cos(0.44298645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903475583511001 × 6371000     		do = 275.944698665598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45146972-0.45151766) × cos(0.44294314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903494147042868 × 6371000     		du = 275.950368446056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44298645)-sin(0.44294314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903475583511001-0.903494147042868)×R²
    abs(0.45151766-0.45146972)×1.85635318666888e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85635318666888e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85635318666888e-05×40589641000000     		ar = 76141.653810377m²