Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74954 / 54067
↖ ↑ ↗
← N 30.023922°
E 25.867310°		 ← 264.44 m → N 30.023922°
E 25.870056°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
N 30.021543°
E 25.867310°		 ← 264.45 m →
69 935 m²		 N 30.021543°
E 25.870056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571857452392578 y=0.412502288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571857452392578 × 217)
    floor (0.571857452392578 × 131072)
    floor (74954.5)     		tx = 74954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412502288818359 × 217)
    floor (0.412502288818359 × 131072)
    floor (54067.5)     		ty = 54067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74954 / 54067 ti = "17/74954/54067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74954/54067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74954 ÷ 217
    74954 ÷ 131072     		x = 0.571853637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54067 ÷ 217
    54067 ÷ 131072     		y = 0.412498474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571853637695312 × 2 - 1) × π
    0.143707275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45146972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412498474121094 × 2 - 1) × π
    0.175003051757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.549788301742424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45146972} λ = 0.45146972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.549788301742424))-π/2
    2×atan(1.7328861300597)-π/2
    2×1.04740630630845-π/2
    2.0948126126169-1.57079632675     		φ = 0.52401629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45146972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.867310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52401629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.023922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74954 KachelY 54067 0.45146972 0.52401629 25.867310 30.023922
    Oben rechts KachelX + 1 74955 KachelY 54067 0.45151766 0.52401629 25.870056 30.023922
    Unten links KachelX 74954 KachelY + 1 54068 0.45146972 0.52397478 25.867310 30.021543
    Unten rechts KachelX + 1 74955 KachelY + 1 54068 0.45151766 0.52397478 25.870056 30.021543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52401629-0.52397478) × R
    4.15100000000779e-05 × 6371000     		dl = 264.460210000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52401629-0.52397478) × R
    4.15100000000779e-05 × 6371000     		dr = 264.460210000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45146972-0.45151766) × cos(0.52401629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865816571107627 × 6371000     		do = 264.442666934636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45146972-0.45151766) × cos(0.52397478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865837340368982 × 6371000     		du = 264.449010401655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52401629)-sin(0.52397478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865816571107627-0.865837340368982)×R²
    abs(0.45151766-0.45146972)×2.07692613550803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07692613550803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07692613550803e-05×40589641000000     		ar = 69935.402037909m²